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Resoluci´n de ecuaciones de primer o grado a trav´s de la historia. e 
Carlos O. Su´rez Alem´n a a





1.

Ecuaciones en Egipto.
En la mayor parte de la Historia, los manuales de matem´ticas se redactaban utilizando la exposici´n de la a o

resoluci´n de diversos problemas, estas resoluciones deb´ interpretarse como modelo utilizable para resolver o ıan todos aquellosproblemas similares. De este modo los manuales eran, b´sicamente, una colecci´n de problemas a o resueltos en los que el que quer´ resolver deb´ buscar las similitudes y aplicar el mismo m´todo. ıa ıa e Hagamos un breve recorrido hist´rico por algunos manuales importantes en la resoluci´n de ecuaciones de o o primer y segundo grado. Vamos a comenzar con el estudio de lo que se conoce como Regula Falsi o((Regla de la falsa posici´n)). o Ya en Mesopotamia la t´cnica de la falsa posici´n era utilizada para resolver algunos problemas geom´tricos. e o e De este modo se resolvi´ el problema 3 de la tablilla AO 6770 del Museo del Louvre (que data del periodo o comprendido entre 2004 a 1595 a.C): Tom´ una piedra de la que no conoc´ su peso. Me llev´ 1 , el tercio de un shekel y 15 granos1 . Puse e ıa e7
1 11

de lo que yo hab´ tomado y cinco sextos de un shekel. La piedra fue restaurada a su estado ıa

original. ¿Cu´l era el peso original de la piedra? a Comencemos con los problemas y algunas t´cnicas de resoluci´n encontrados en el papiro de Rhind. Siendo e o a, b y c n´meros dados y donde la inc´gnita x recib´ el nombre de “aha” (mont´n). Como se ha comentado, u o ıa o los m´todos deresoluci´n se correspond´ con recetas y nos detenemos en el procedimiento que se ha venido e o ıan en denominar Regula Falsi o de la “falsa suposici´n”para resolver una ecuaci´n del tipo x + ax = b, consistente, o o en t´rminos actuales en: e i) si f (x) = x + ax, se supone un valor x1 para x, luego se determina f (x1 ) = x2 ; ii) se busca k tal que kx2 = b y por la linealidad de f se tiene que f(kx1 ) = b, por lo que x = kx1 . Naturalmente los egipcios no daban ning´n tipo de justificaci´n, ni tampoco una formulaci´n general del proceu o o dimiento, sino que se limitaban a resolver casos concretos. En el problema 24, cuyo enunciado es: Una mont´n m´s 7 de ´l son 19. o a e Con la notaci´n: 7, se refer´ a 7 , el problema en lenguaje actual se traduce en resolver la ecuaci´n x + 1 x = o ıan 1 o7 19. El m´todo utilizado expuesto en el papiro es: e Cambia 7 por x. 7+7·7=8 como 8 tiene que ser multiplicado por (2 + 4 + 8) para conseguir 19 8 · (2 + 4 + 8) = 16 + 2 + 1 = 19 entonces 7 tiene que ser multiplicado por (2 + 4 + 8) para llegar a la soluci´n. o 7 · (2 + 4 + 8) = 16 + 2 + 8 = 16,625
actual 1 El

shekel (≈ 95,5 g.) y el grano (≈ 0, 0046g.)) eran unidades de medida de peso.

1 Y en el problema 26, cuyo enunciado es: Una cantidad m´s 4 de ella son 15.2 a El procedimiento utilizado en el papiro es: Cambia x por 4 4 + 4 · 4 = 5, como 5 tiene que ser multiplicado por 3 para conseguir 15. entonces 4 tiene que ser multiplicado por 3 para llegar a la soluci´n. o 4 · 3 = 12. Comprobamos, 12 m´s un cuarto suyo, 3, da 15. a El problema, en lenguaje actual, se corresponde conla ecuaci´n x + 1 x = 15, observamos que si denotao 4 mos f (x) = x +
x 4

tenemos que f (x) es lineal. Suponiendo que x = 4, tenemos que f (4) = 5, ahora bien,

15 = 3 · 5 = 3 · f (4) = f (3 · 4), luego la soluci´n es x = 3 · 4 = 12. Por tanto, estamos ante un m´todo de Regula o e Falsi simple. Como puede observarse, el procedimiento est´ basado en conceptos de proporcionalidad directa, alo que permite su utilizaci´n sin complicaciones en la ense˜anza secundaria obligatoria para resolver problemas o n relacionados con las ecuaciones de primer grado. Utilizando la misma t´cnica se resuelven los problemas del papiro de Rhind siguientes: e no 25. x + 2x = 16 no 26. x + 4x = 15 no 27. x + 5x = 21 Posteriormente, en los problemas no 31, no 32 y no 33 nos encontramos con una primera...
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