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Páginas: 5 (1132 palabras)
Publicado: 27 de noviembre de 2011
ESTADÍSTICOS DE ORDEN
1. Introducción
Esta exposición tiene como principal objetivo dar las nociones de base y algunos resultados clásicos que le permitirán al alumno abordar dominios más especializados.
2. Presentación Teórica
Definición: Sea X1,X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con función de distribución [pic] y densidad f; es decir, X1,…,Xn, son independientes eidénticamente distribuidas (i.i.d.). Si se considera la muestra en orden creciente, se obtiene la estadística de orden de X1,…, Xn:
[pic] (1)
Observaciones:
i) En un contexto más general se podría tomar [pic] como variables aleatorias (v.a.) independientes, pero teniendo Xi una distribución [pic] que podría ser diferente de las demás.
ii) Si bien las v.a. Xi sonindependientes, a causa de la relación (1) las v.a. X(i) son dependientes.
iii) Cabe recordar que si F es continua, [pic]; entonces el signo de desigualdad “(” en (1) puede reemplazarse por la desigualdad estricta “ x + s para n - k de las v.a. Xi
El número de formas en que las n v.a. pueden ser divididas en 3 de tales grupos es:
[pic] (4)
y cada una tiene unaprobabilidad:
[pic]
Por tanto:
[pic]
donde t [pic] y 0 (s2) contiene la probabilidad de realizaciones de (4) en las cuales más de una Xi pertenece al intervalo [pic]; entonces
[pic]
[pic]
b) [pic]
= P (al menos k de las v.a. Xi sean ( x)
[pic]
Siguiendo un razonamiento similar es muy fácil demostrar el siguiente
Teorema 2: Considérese laestadística de orden X(1) < ...< X(n); entonces la densidad conjunta de las v.a. [pic], que la denotaremos por [pic], está dada por la siguiente expresión:
[pic]
[pic] (5)
[pic]
si [pic] verifican las desigualdades siguientes:
[pic]
En caso contrario:
[pic]
donde [pic] son números enteros tales que 1 ( k1 < k2 < ...
[pic] (6)
Ejemplo: Dos de las estadísticas más conocidas, por su utilidad en problemas prácticos son los extremos (ver Galambos 1978):
X(1) = min (X1,...,Xn)
X(n) = max (X1,...,Xn)
A partir de (3) se puede deducir que:
[pic]
y
[pic]
Para estos casos se pueden obtener distribuciones asintóticaspara una distribución cualquiera (Distribuciones de Frechet, Gumbel o Weibull), lo que resulta de mucha utilidad en ciertas aplicaciones de Ingeniería.
3. Casos Particulares
3. Distribución Uniforme sobre (0, 1(
Sea U una v.a. que sigue una ley uniforme sobre (0, 1(; considérese la estadística de orden
0 < U(1) < U(2) < ... < U(n) < 1
Después de remplazar las expresiones dela densidad y la distribución de U en (2), se obtiene la densidad f(k) de U(k):
[pic] si 0 < u < 1
Utilizando la conocida igualdad:
[pic] para r > 0, s > 0
donde las funciones [pic] y [pic] están definidas por:
[pic] r > 0
y
[pic]
y el hecho de que
[pic]
se puede deducir que:
[pic]
de donde se obtiene:
[pic] si0 < u < 1
que es la densidad de la distribución Beta de parámetros k y [pic]: [pic].
Puesto que U(k) sigue una distribución Beta(k, n – k + 1), se puede calcular su momento (inicial) de orden r, de una manera explícita:
[pic]
[pic]
En particular
[pic]
y
[pic]
Por tanto
[pic]
[pic][pic]
Sea k = (n (( con 0 < ( < 1 fijo, donde (x( denota la parte entera de x; entonces cuando n ( (, [pic] y [pic]
Estas expresiones sirven de base para deducir el siguiente teorema, cuya demostración se omite.
Teorema 3: Con las notaciones precedentes
[pic]
Cabe anotar que la importancia de este teorema radica en el hecho que asintóticamente, el cuantil empírico de orden...
1. Introducción
Esta exposición tiene como principal objetivo dar las nociones de base y algunos resultados clásicos que le permitirán al alumno abordar dominios más especializados.
2. Presentación Teórica
Definición: Sea X1,X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con función de distribución [pic] y densidad f; es decir, X1,…,Xn, son independientes eidénticamente distribuidas (i.i.d.). Si se considera la muestra en orden creciente, se obtiene la estadística de orden de X1,…, Xn:
[pic] (1)
Observaciones:
i) En un contexto más general se podría tomar [pic] como variables aleatorias (v.a.) independientes, pero teniendo Xi una distribución [pic] que podría ser diferente de las demás.
ii) Si bien las v.a. Xi sonindependientes, a causa de la relación (1) las v.a. X(i) son dependientes.
iii) Cabe recordar que si F es continua, [pic]; entonces el signo de desigualdad “(” en (1) puede reemplazarse por la desigualdad estricta “ x + s para n - k de las v.a. Xi
El número de formas en que las n v.a. pueden ser divididas en 3 de tales grupos es:
[pic] (4)
y cada una tiene unaprobabilidad:
[pic]
Por tanto:
[pic]
donde t [pic] y 0 (s2) contiene la probabilidad de realizaciones de (4) en las cuales más de una Xi pertenece al intervalo [pic]; entonces
[pic]
[pic]
b) [pic]
= P (al menos k de las v.a. Xi sean ( x)
[pic]
Siguiendo un razonamiento similar es muy fácil demostrar el siguiente
Teorema 2: Considérese laestadística de orden X(1) < ...< X(n); entonces la densidad conjunta de las v.a. [pic], que la denotaremos por [pic], está dada por la siguiente expresión:
[pic]
[pic] (5)
[pic]
si [pic] verifican las desigualdades siguientes:
[pic]
En caso contrario:
[pic]
donde [pic] son números enteros tales que 1 ( k1 < k2 < ...
[pic] (6)
Ejemplo: Dos de las estadísticas más conocidas, por su utilidad en problemas prácticos son los extremos (ver Galambos 1978):
X(1) = min (X1,...,Xn)
X(n) = max (X1,...,Xn)
A partir de (3) se puede deducir que:
[pic]
y
[pic]
Para estos casos se pueden obtener distribuciones asintóticaspara una distribución cualquiera (Distribuciones de Frechet, Gumbel o Weibull), lo que resulta de mucha utilidad en ciertas aplicaciones de Ingeniería.
3. Casos Particulares
3. Distribución Uniforme sobre (0, 1(
Sea U una v.a. que sigue una ley uniforme sobre (0, 1(; considérese la estadística de orden
0 < U(1) < U(2) < ... < U(n) < 1
Después de remplazar las expresiones dela densidad y la distribución de U en (2), se obtiene la densidad f(k) de U(k):
[pic] si 0 < u < 1
Utilizando la conocida igualdad:
[pic] para r > 0, s > 0
donde las funciones [pic] y [pic] están definidas por:
[pic] r > 0
y
[pic]
y el hecho de que
[pic]
se puede deducir que:
[pic]
de donde se obtiene:
[pic] si0 < u < 1
que es la densidad de la distribución Beta de parámetros k y [pic]: [pic].
Puesto que U(k) sigue una distribución Beta(k, n – k + 1), se puede calcular su momento (inicial) de orden r, de una manera explícita:
[pic]
[pic]
En particular
[pic]
y
[pic]
Por tanto
[pic]
[pic][pic]
Sea k = (n (( con 0 < ( < 1 fijo, donde (x( denota la parte entera de x; entonces cuando n ( (, [pic] y [pic]
Estas expresiones sirven de base para deducir el siguiente teorema, cuya demostración se omite.
Teorema 3: Con las notaciones precedentes
[pic]
Cabe anotar que la importancia de este teorema radica en el hecho que asintóticamente, el cuantil empírico de orden...
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