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ESTADÍSTICOS DE ORDEN

1. Introducción

Esta exposición tiene como principal objetivo dar las nociones de base y algunos resultados clásicos que le permitirán al alumno abordar dominios más especializados.

2. Presentación Teórica

Definición: Sea X1,X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con función de distribución [pic] y densidad f; es decir, X1,…,Xn, son independientes eidénticamente distribuidas (i.i.d.). Si se considera la muestra en orden creciente, se obtiene la estadística de orden de X1,…, Xn:

[pic] (1)

Observaciones:

i) En un contexto más general se podría tomar [pic] como variables aleatorias (v.a.) independientes, pero teniendo Xi una distribución [pic] que podría ser diferente de las demás.
ii) Si bien las v.a. Xi sonindependientes, a causa de la relación (1) las v.a. X(i) son dependientes.
iii) Cabe recordar que si F es continua, [pic]; entonces el signo de desigualdad “(” en (1) puede reemplazarse por la desigualdad estricta “ x + s para n - k de las v.a. Xi

El número de formas en que las n v.a. pueden ser divididas en 3 de tales grupos es:

[pic] (4)

y cada una tiene unaprobabilidad:

[pic]

Por tanto:

[pic]

donde t [pic] y 0 (s2) contiene la probabilidad de realizaciones de (4) en las cuales más de una Xi pertenece al intervalo [pic]; entonces

[pic]

[pic]

b) [pic]
= P (al menos k de las v.a. Xi sean ( x)

[pic]

Siguiendo un razonamiento similar es muy fácil demostrar el siguiente

Teorema 2: Considérese laestadística de orden X(1) < ...< X(n); entonces la densidad conjunta de las v.a. [pic], que la denotaremos por [pic], está dada por la siguiente expresión:
[pic]

[pic] (5)
[pic]

si [pic] verifican las desigualdades siguientes:

[pic]

En caso contrario:

[pic]

donde [pic] son números enteros tales que 1 ( k1 < k2 < ... En particular se tiene que:

[pic] (6)

Ejemplo: Dos de las estadísticas más conocidas, por su utilidad en problemas prácticos son los extremos (ver Galambos 1978):

X(1) = min (X1,...,Xn)
X(n) = max (X1,...,Xn)

A partir de (3) se puede deducir que:
[pic]
y
[pic]

Para estos casos se pueden obtener distribuciones asintóticaspara una distribución cualquiera (Distribuciones de Frechet, Gumbel o Weibull), lo que resulta de mucha utilidad en ciertas aplicaciones de Ingeniería.

3. Casos Particulares

3. Distribución Uniforme sobre (0, 1(

Sea U una v.a. que sigue una ley uniforme sobre (0, 1(; considérese la estadística de orden

0 < U(1) < U(2) < ... < U(n) < 1

Después de remplazar las expresiones dela densidad y la distribución de U en (2), se obtiene la densidad f(k) de U(k):

[pic] si 0 < u < 1

Utilizando la conocida igualdad:

[pic] para r > 0, s > 0
donde las funciones [pic] y [pic] están definidas por:

[pic] r > 0
y
[pic]

y el hecho de que

[pic]

se puede deducir que:

[pic]

de donde se obtiene:

[pic] si0 < u < 1

que es la densidad de la distribución Beta de parámetros k y [pic]: [pic].

Puesto que U(k) sigue una distribución Beta(k, n – k + 1), se puede calcular su momento (inicial) de orden r, de una manera explícita:

[pic]

[pic]

En particular

[pic]
y

[pic]

Por tanto

[pic]

[pic][pic]

Sea k = (n (( con 0 < ( < 1 fijo, donde (x( denota la parte entera de x; entonces cuando n ( (, [pic] y [pic]
Estas expresiones sirven de base para deducir el siguiente teorema, cuya demostración se omite.

Teorema 3: Con las notaciones precedentes

[pic]

Cabe anotar que la importancia de este teorema radica en el hecho que asintóticamente, el cuantil empírico de orden...
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