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FUNCIONES LOGARITMICAS
 

 
 
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función conbase b. Leemos la notación logb(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresiónlogb(x) un logaritmo. 
 
 
Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces
logb y = x  si y sólo si  y = bx.
 
Nota:  La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
 
Ejemplos:
 
1)  ¿A qué exponente hay que elevar labase 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)
 
2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
 
 Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log10 3  está definido, pero el log100  y  log10 (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 
 
 
Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
 

 
 
 
Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos enforma exponencial:
 

Ejemplo para discusión:  Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
 

 
Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
 

 
 
Solución de ecuaciones logarítmicas simples
 
Ejemplos para discusión:
 
1)  Halla el valor de x si log3 9 = x.
2)  Halla el valor de b si logb 8 = 3.
3)  Halla el valor de y si log2 y = 7.
 Ejercicio de práctica: 
 
1)  Halla el valor de y si log3 27 = y.
2)  Halla el valor de b si logb 100 = 2.
3)  Halla el valor de x si log2 x = -3.
 
 
Propiedades de las funciones logarítimicas:  Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y  p  y  x  son números reales, entonces:
 
1)  logb 1 = 0
2)  logb b = 1
3)  logb bx = x
4)  logb MN = logb M + logb N

6)  logb Mp = p logb M
7)  logb M= logb N  si y sólo si  M = N
 
 
Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para simplificar:
 
1)  log5 1 =
2)  log10 10 =
3)  log10 0.01 =
 
 
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:
 
1)  log10 1 =
2)  log5 25 =
3)  log10 10 -5 =
 
 
Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para expandir cada expresión:
 
1)  logb 5x =
2)  logb x9 =

 
 Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:
 
 
 
 
Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:
 
1)  log3 (x) + log 3 (6) =
2)  log3 (24) - log3 (4) =
3)  log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =
 
 
Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:
 
1)  log10 (5) + log10 (3) =
2)  log3 (x + 2) - log3 ( x -1) =
3)  2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =
 
 
Logaritmos comunes y naturales
 
Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10.  Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e.   Si  y = ex  entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para loslogaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.  
Notación:
  Logaritmo común:  log x = log10 x Logaritmo natural:    ln x = loge x 
 
Ejemplo para discusión:  Usa la calculadora para hallar:
 
1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =
 
 
Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:
 
1) log 3 =
2) ln 28.693 =
3) log(-0.438) =
 
 
El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b.  En particular:
 

 
 
 
Ejemplos:...