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METODO DE RUNGE-KUTTA

El método de Runge-kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler, el cual se puede considerar como un método de runge kutta de primer orden, este método logra la exactitud de una serie de Taylor pero sin requerir el cálculo de derivadas superiores y el de Heun, es un método de Runge-Kutta de orden dos.Los Runge-kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explicito para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O’s). Estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolme Runge y Martín Wilhelm kutta.
El objetivo de los métodos numéricos de Runge-kutta, es elanálisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.
Los métodos de Runge-Kutta son una especialización de los métodos numéricos a un paso. Fundamentalmente, lo que caracteriza a los métodos de Runge-Kutta es que el error en cada paso i esde la forma:

Siendo C una constante real positiva, al número k se le llama orden del método y h es el tamaño del paso en cada nodo.
En los métodos de Runge-Kutta se llama etapas a las sucesivas evaluaciones de la función f en cada paso. El número de etapas de un método de Runge-Kutta es el número de veces que la función es evaluada en cada paso i, Este concepto es importante porque evaluar lafunción requiere un coste computacional (a veces alto) por tanto se prefieren métodos con el menor número posible de etapas.
Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

Donde se conoce como la funciónincremento la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo.
La función incremento se escribe en forma general como:

Donde las a son constantes y las k son:




Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos  Runge-Kutta al emplear diferentesnúmeros de términos en la función incremento como la especificada por n.


METODO DE RUNGE-KUTTA DE PRIMER ORDEN (Método De Euler)
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar  tan pronto se conozcan los valores de y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debidoa Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.
Dado el problema de valores iniciales:

Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo   y evaluar la integral aplicando la fórmula de integración numérica:


Entonces
De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler:
Dónde:

Esta es lafunción incremento.
Luego haciendo un mejoramiento al método de Euler queda de la siguiente manera:

Donde:

Función incremento mejorada

En este método el error es de la forma e ≤ Ch y por tanto el método de Euler es de orden 1.
Observación: La función se evalúa 1 vez en cada paso, número de etapas: 1.


METODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN
La versión de segundo orden de la ecuaciónes

Dónde:


Los valores de se evalúan al igualar la ecuación con la expansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Al hacerlo, desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas. Las tres ecuaciones son:

Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos dar el valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres....