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ALGEBRA:
es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno puedenconsiderarse extensiones de la aritmética.
Álgebra en la antigüedad
Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,7 que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse medianteecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el artematemático.
Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras. Los matemáticos helénicos Herón de Alejandría y Diofanto8 así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron lastradiciones de Egipto y Babilonia, si bien la Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto.9 Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanesdesarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.
Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.





Términos semejantes
     Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parteliteral, o dicho de otra forma aquella que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo:
a2 y 5a2 son términos semejantes, además −4a2 y 35a2 también son términos semejantes, pues su parte literal es decir a2 es la misma.
     Algunos ejemplos más:
3ab2 y −83ab2, a3bm+1 y −8a3bm+1, etc. En estos casos las  parejas de términos tienen términos semejantes, la primer pareja tiene a ab2como término semejante y en la segunda pareja lo es a3bm+1. El hecho de que tengamos términos semejantes en una expresión algebraica nos permite reducir dichos términos haciendo las operaciones que sean posibles entre ellos.

    Imaginemos que tenemos la siguiente expresión algebraica:

−8a3b5+3a3b5+a3b5
   
    Si queremos reducirla tendremos que realizar las operaciones que se nos piden.Es decir sumas y restas. Es mas fácil si la reacomodamos de la siguiente forma:

3a3b5+a3b5−8a3b5
Aritmética
La aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. ἀριθμητικός,1 ἀριθμός —número) es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la matemática,como el álgebra o la geometría, el sentido de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias naturales».2 En la actualidad, puede referirse a la aritmética...