ADMINISTRADOR FINANCIERO

MAGNITUDES VALORADAS POR UNA FUNCIÓN
En Economía existen magnitudes que se pueden cuantificar. Para ello se utiliza una
función matemática que relaciona el valor de la magnitud con las variables de las que
depende.
Ejemplos:
•

La demanda de un bien depende del precio de dicho bien. Dicha relación se

puede expresar de la forma d = 400 − p 2 con 5 ≤ p ≤ 15 .
•

En una empresa deproducción, el coste, ingreso y beneficio son funciones de la

cantidad producida:

C (Q) = cos te

Q = producción I (Q) = ingreso
 B(Q) = beneficio

Q es la variable independiente, C, I, B son las variables dependientes. Un valor de Q
conocido determina los valores de C, I y B.
•

Una empresa vende tres productos, del primero obtiene un beneficio de 10 € por

unidad vendida, delsegundo 4 € y 7 € del tercero. Si llamamos x1 , x2 , x3 a las
cantidades vendidas de cada uno de los productos, podemos expresar el beneficio en
función de ( x1 , x2 , x3 ) .
B ( x1 , x2 , x3 ) = 10 x1 + 4 x2 + 7 x3 ,
con x1 , x2 , x3 variables independientes, B variable dependiente.

Funciones de varias variables
Si una magnitud y depende de n variables x1, x2 ,..., xn , utilizaremos unafunción
f : R n  R real de varias variables.
→

( x1 , x2 ,..., xn )  y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
→
• Cuando la magnitud aparezca despejada en función de las variables vendrá
expresada en forma explícita: y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
Ejemplo: y = x12 + 2 x1 x2

1

•

Cuando la magnitud aparezca junto a las variables en una ecuación igualada a

cero, vendrá expresada en formaimplícita: F ( x1 , x2 ,..., xn , y ) = 0
Ejemplo: x12 + 2 x1 x2 − y = 0
Si la magnitud y tiene varias componentes, tendremos una función f : R n  R m
→
vectorial de varias variables.
( x1 , x2 ,..., xn ) 
→ y = f ( x1 , x2 ,…, xn ) = ( f1 ( x1 ,…, xn ), f 2 ( x1 ,…, xn ),…, f m ( x1 ,…, xn ))
Ejemplo:
f : R3 → R2
( x1 , x2 , x3 ) → y = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 , x2 x3 )
Cuando elvalor de una magnitud z depende de unas variables y1 , y2 , … , ym , que a su
vez dependen de otras variables x1, x2 ,..., xn , tendremos una valoración compuesta que
se modeliza con una función compuesta.
f
g
R n  R m  R
→
→

( x1 ,… , xn ) → ( y1 ,… , ym ) → z
| ________________ ↑
g f

(g

f )( x1 , … , xn ) = g ( f ( x1, … , xn )) = g ( y1 , … ym ) = z

Ejemplo:
f ( x1, x2 ,x3 ) = ( x1 + x2 , x2 x3 )

g ( y1 , y2 ) = y1 − y2

(g

f )( x1 , x2 , x3 ) = g ( f ( x1, x2 , x3 )) = g ( x1 + x2 , x2 x3 ) = x1 + x2 − x2 x3

Dominio de una función
El dominio de una función

( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R n

f : R n  R
→

es el conjunto de puntos

para los que existe valor de la función, es decir, para los que existe

un y ∈ R tal que y = f ( x1 , x2 ,..., xn ).
Ejemplos:

2

f ( x1 , x2 ) =

{

x12
⇒ D = ( x1 , x2 ) ∈ R 2 / x1 ≠ x2
x1 − x2

}

{

}

2
2
f ( x1, x2 ) = x12 + x2 − 9 ⇒ D = ( x1 , x2 ) ∈ R 2 / x12 + x2 ≥ 9

f ( x1 , x2 ) =

x1 x2
2
x + x2
2
1

⇒ D = R 2 − {(0,0)}

DERIVADAS. ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO
Conocida la función matemática que determina el valor de la magnitud dados los
valores de las variablesde las que depende, podemos analizar su comportamiento tanto
local (para unos valores concretos de las variables) como global (en todo su dominio).
Nos centraremos en el estudio del comportamiento local.

Derivadas en funciones reales de una variable
En la función real de una variable f : R → R , se define la derivada primera de f en
un punto a como

f ' (a ) = lim

f (a + λ ) − f (a)λ

λ →0

Si f ' (a ) > 0 , el comportamiento de f es creciente en a.
Si f ' (a) < 0 , el comportamiento de f es decreciente en a.
Si f ' (a) = 0 , el comportamiento de f es estacionario en a y el punto a es un punto
crítico de la función.
Se define la derivada segunda de f en a como
f ' ' (a ) = lim
λ →0

f ' (a + λ ) − f ' (a)

λ

Si f ' ' (a ) > 0 , la función es convexa en...