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APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de formaindependiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticasde esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entoncesf pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variaciónmedia (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = 
 
Ejemplo 1. Hallala tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] = 
 
Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) enel intervalo [0,2] valga ln2.
2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería . 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lotanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que fes derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1....