agua

II CÁLCULO INTEGRAL

II.1.-LA DIFERENCIAL.- La notación para la derivada de una función y = f(x) es
y´ = = f ´(x)
en donde el símbolo representa el límite del cociente cuando 0. De la expresión de derivada podemos definir:

dx, leído diferencial de x, por, la relación dx =
dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f ´(x) dx

hay que considerar que por definición,la diferencial de una variable independiente (dx) es igual a su incremento ( ). Sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función ( dy ) no es igual a su incremento ( )

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente. Cuando el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy yson aproximadamente iguales.

dy = f ´(x) dx

Geométricamente, se puede demostrar lo afirmado anteriormente:


















Sea y = f (x ) la función y su derivada f ´(x), que se identifica con el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente es = dx = PB, por la definición de diferencial resulta:
y = f (x )
dy = f ´(x) dx

Si elvalor de la derivada en cualquier punto es la pendiente de la tangente, se tiene:

dy = f ´(x) dx
dy = tg  ( PB )
en la gráfica se tiene que tg  =

dy = ( PB ) de donde

dy = BC representa el incremento de la ordenada correspondiente a dx

EJEMPLOS:

a) Hallar la diferencial para la función y = ax3 dy = f (x) dx = 3ax2dx.

b) Si y = x3 + 2x2 – x; entonces: dy = =f (x) dx = ( 3x2 + 4x – 1 ) dx

c) Calcular la diferencial de la función y = para x = 5 y = dx = 0.05

dy = f (x) dx = dx = dx
dy = (0.05)
dy = (0.05)
dy = 0.09375

d) Calcular el valor aproximado para .

Sea y = { la función representativa de
x = 25
dx = = 2 { incremento de x para tener

dy = = ; dy = 0.2
Si y = = = 5 y = y + dy =5 + 0.2
= 5 + 0.2
= 5.2 Valor aproximado de

e) Calcular el volumen aproximado de una cáscara esférica de 300 mm. de diámetro exterior y 1.5 mm. de espesor.

Sea V =
r = 150
dr = = - 1.5 { Grosor de la concha esférica }

dV = 4r2 dr = 4 ( 150 )2 ( - 1.5 ) ;

dV = 135 000 mm3 Volumen aproximado de la concha esférica ( mm3 )

f) Determinarel incremento del área de un cuadrado de 6 pulgadas de lado, al aumentar el lado de pulgada.

Sea A = x2
x = 6 pulgadas
dx = x = { Aumento del lado del cuadrado }

dA = 2x dx = 2 ( 6 ) ( );

dA = = 0.375 pulg.2 Incremento de área de 0.375 pulgadas cuadradas.




EJERCICIOS I:

1) Determinar la diferencial en cada caso:


a) y =x3 - 3x
b) y=
c) y =
d) y = x
e) s = a e bt
f) u = ln cv
g)  = sen a
h) y = ln sen x
i) =  cos 
j) s = e t cos t
k) Si x2 + y2 = a2 ; demostrar que
dy = -


2) Aplicando el concepto de diferenciales, resuelve los problemas que se plantean :

a) Calcular el valor aproximado de:
a) b) c)
b) Hallar el valor aproximado del incremento de y en y = x3 cuando x pasa de 5 a 5.01c) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un cuadrado cuando su lado varía de 8 cm. a 8.01 cm. ( A = l2 )
d) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un disco metálico que se dilata con el calor si su radio aumenta de 5 cm. a 5.01 cm. ( A =  r2 )
e) Si el radio de un globo esférico varía de 8 cm. a 8.1 cm.; determinar el crecimiento aproximadode su volumen ( V =  r3 )
f) Un balín de hierro de 9 cm. de radio, por su uso sufre un desgaste hasta que su radio queda de 8.72 cm. Hallar la disminución aproximada de su volumen.
g) Una bola de hielo de 10 cm. de radio se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8 cm; hallar el valor aproximado de la disminución de su volumen.
h) Calcular el volumen aproximado que se necesita...