Aingenieria
Páginas: 14 (3359 palabras)
Publicado: 6 de octubre de 2010
Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
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5. ANÁLISIS DE VARIABLES.
FUNCIONES
DE
VARIAS
En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculos analíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitaciones relacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas. 5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOSVARIABLES. EJEMPLO 5.1. Dibujar la gráfica de la función x2 + y2 cos 4 . f ( x, y ) = 2 2 3+ x + y Solución Editamos la función
y marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o marcamos nuevamente y obtenemos
y una vez abierta la ventana 3D
Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es [-1/3,1/3]. Modificamos, por tanto, la escala en lavariable z, para obtener una mejor visión de la gráfica. Marcamos obteniendo y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,
Análisis de funciones de varias variables
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Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opción Posición de ojo o equivalentemente si: x=10, y=10, z=24, obtenemos y cambiamos las Coordenadas del ojo. Por ejemplo,Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente de la misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando las coordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos
Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
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Si lo que queremos es ampliar odisminuir la visión que tenemos de la gráfica marcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente, pinchamos el botón de herramientas x=25, y=25 y z=0.5, obtenemos que nos interese. Por ejemplo, considerando:
EJEMPLO 5.2. Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide: (a) dibujar su gráfica (b) construir sus curvas de nivel.
Análisis de funciones de varias variables
69Solución (a) Para dibujar la gráfica editamos la expresión Como en el ejemplo anterior marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o y una vez abierta la ventana 3D marcamos nuevamente y obtenemos
(b) Las curvas de nivel de esta función son de la forma f(x,y)=k. Un camino para representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cada uno de ellos representar la ecuación f(x,y)=k.Utilizando la función VECTOR podemos agrupar en una misma expresión las curvas de nivel que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando y simplificando la expresión obtenemos
Si abrimos ahora una Ventana 2D y mandamos representar con el icono obtenemos las gráficas de esas 5 curvas de nivel:
Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
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EJEMPLO 5.3. Dibujar la gráficay las curvas de nivel de la función f(x,y)= Solución Editamos la expresión y2 − 3x . 5
abrimos una Ventana 3D, marcamos
. La gráfica que obtenemos es
Si deseamos dibujar las curvas de nivel de la función, debemos representar las ecuaciones f(x,y)=k, por ejemplo para k desde –5 a 5, editando que al simplificar y representar nos da las curvas de nivel
Análisis de funciones de variasvariables
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5.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD. Como bien sabemos, en funciones de varias variables el concepto de límite es mucho más complejo que en funciones de una variable debido a que a un punto nos podemos aproximar por muchas direcciones diferentes. Veamos algunos ejemplos que nos permiten estudiar la continuidad de la función a través de la información que nos da su límite. EJEMPLO 5.4.Determinar si es continua en (0,0) la función x + y f ( x, y ) = x − y 0 Solución
x≠ y x= y
Estudiamos en primer lugar la existencia de límite en dicho punto. Para calcular dicho límite calculamos sus límites reiterados. Comenzamos calculando primero el límite respecto de la variable x y después respecto de la variable y. Editamos la siguiente función Nota: La función IF se utiliza...
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5. ANÁLISIS DE VARIABLES.
FUNCIONES
DE
VARIAS
En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculos analíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitaciones relacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas. 5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOSVARIABLES. EJEMPLO 5.1. Dibujar la gráfica de la función x2 + y2 cos 4 . f ( x, y ) = 2 2 3+ x + y Solución Editamos la función
y marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o marcamos nuevamente y obtenemos
y una vez abierta la ventana 3D
Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es [-1/3,1/3]. Modificamos, por tanto, la escala en lavariable z, para obtener una mejor visión de la gráfica. Marcamos obteniendo y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,
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Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opción Posición de ojo o equivalentemente si: x=10, y=10, z=24, obtenemos y cambiamos las Coordenadas del ojo. Por ejemplo,Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente de la misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando las coordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos
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Si lo que queremos es ampliar odisminuir la visión que tenemos de la gráfica marcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente, pinchamos el botón de herramientas x=25, y=25 y z=0.5, obtenemos que nos interese. Por ejemplo, considerando:
EJEMPLO 5.2. Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide: (a) dibujar su gráfica (b) construir sus curvas de nivel.
Análisis de funciones de varias variables
69Solución (a) Para dibujar la gráfica editamos la expresión Como en el ejemplo anterior marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o y una vez abierta la ventana 3D marcamos nuevamente y obtenemos
(b) Las curvas de nivel de esta función son de la forma f(x,y)=k. Un camino para representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cada uno de ellos representar la ecuación f(x,y)=k.Utilizando la función VECTOR podemos agrupar en una misma expresión las curvas de nivel que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando y simplificando la expresión obtenemos
Si abrimos ahora una Ventana 2D y mandamos representar con el icono obtenemos las gráficas de esas 5 curvas de nivel:
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EJEMPLO 5.3. Dibujar la gráficay las curvas de nivel de la función f(x,y)= Solución Editamos la expresión y2 − 3x . 5
abrimos una Ventana 3D, marcamos
. La gráfica que obtenemos es
Si deseamos dibujar las curvas de nivel de la función, debemos representar las ecuaciones f(x,y)=k, por ejemplo para k desde –5 a 5, editando que al simplificar y representar nos da las curvas de nivel
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5.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD. Como bien sabemos, en funciones de varias variables el concepto de límite es mucho más complejo que en funciones de una variable debido a que a un punto nos podemos aproximar por muchas direcciones diferentes. Veamos algunos ejemplos que nos permiten estudiar la continuidad de la función a través de la información que nos da su límite. EJEMPLO 5.4.Determinar si es continua en (0,0) la función x + y f ( x, y ) = x − y 0 Solución
x≠ y x= y
Estudiamos en primer lugar la existencia de límite en dicho punto. Para calcular dicho límite calculamos sus límites reiterados. Comenzamos calculando primero el límite respecto de la variable x y después respecto de la variable y. Editamos la siguiente función Nota: La función IF se utiliza...
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