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El número e
Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en elpunto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base e.
El número epuede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones,particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

Y también como la serie:

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias,es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de lafunción arco tangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735, por el cualquedaba demostrado que:

Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formaspara expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicaciónmatemática de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Eulerestablece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:

Esta fórmula fue...