Albrebra lineal

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Eliminación de Gauss-Jordan.
 
La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la solución del sistema.
una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglonessi cumple las condiciones
 
i)           Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la parte inferior de la matriz.
ii)         Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).
iii)       Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes decero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.
iv)       Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

Su matriz aumentada será esta:

En primer lugar, reducimos la incógnita, sumando a la segunda fila, la primera multiplicadapor , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por y por , respectivamente.

Por último, eliminamos la , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente.

Llegados a este punto podemosresolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por , y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

 
 
Ejemplo 1:
Encuentra la solución del sistema
Solución:
 
Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene
 
|
|
|
Elsistema equivalente obtenido tiene la forma
 
 
 
Por lo tanto la solución del sistema es:
 
Ejemplo 2:
 
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 

Solución:
 
Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:
 
|
|
 
Despejando la primera incógnita de cada una de las ecuaciones:
 
| |
 
Puede observarse que el valor de estas incógnitasdependen del valor que se le asigne arbitrariamente a  , por lo tanto el sistema es consistente indeterminado, pues tiene un número infinito de soluciones que están representadas por
 
 

Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:
| |
Solución. Comenzamos con la matriz aumentada:
| |
Procedemos a hacer el primer pivoteo, y para ello, intercambiamos losrenglones 1 y 2:
| |
y haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:
| ~  |
Ahora, para colocar adecuadamente el segundo pivote intercambiamos los renglones 2 y 3:
| |
Para hacer ceros arriba del pivote 1.25, multiplicamos el renglón 2 por y se lo sumamos al renglón 1; para hacer ceros debajo del mismo pivote, multiplicamos al mismo renglón 2 por y se lo sumamos al renglón 3.Todo esto nos da:
| |
Ahora procedemos a hacer ceros arriba del pivote 0.09 . Para ello, multiplicamos el renglón 3 por y se lo sumamos al renglón 2; igualmente multiplicamos el renglón 3 por y se lo sumamos al renglón 1. Todo esto nos da:
| |
Finalmente para hacer los 1’s ( unos ) en la diagonal principal, multiplicamos los renglones 1 , 2, y 3 por y ,respectivamente. Obtenemos entonces la matriz final:
| |
La cual nos da la solución del sistema de ecuaciones:
|
|
Ejemplo 2.     Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:
| |
Solución.     Escribimos la matriz aumentada del sistema:
| |
Observamos que el primer elemento pivote está bien colocado y por lo tanto no hay necesidad de intercambiar renglones. Por lo...