ALG LIN MAEST2

UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES

E

n esta unidad haremos un estudio de los aspectos más indispensable de matrices y
determinantes. Se utilizan notaciones generalizadas.

2.1 Matrices
DEF. Se llama MATRIZ de orden mxn y se denota con letras mayúsculas A,B,... a un arreglo
rectangular de mn números de un conjunto K, (K mínimo un anillo) dispuestos en m filas y n
columnas encerrados en corcheteso en paréntesis; esto es :

 a 11
a
A   21
 ..

a m1

a 12
a 22
..
a m2

a 1n 
.. . a 2n 
.. .
.. 

.. . a mn 
...

donde: m indica el número de filas y n el número de columnas, a ij es el elemento de A
ubicado en la fila i, y en la columna j; por ejemplo, el elemento a23 está en la fila 2 y en la
columna 3. Si m = n la matriz se dice cuadrada, caso contrario se dice rectangular.
Alconjunto de todas las matrices de orden mxn con elementos en K denotaremos con:

M mxn K  (se lee “conjunto de matrices de orden mxn a valores en K”)
Cada fila o renglón a i1 a i2 . . . a in  de A llamaremos vector fila i-ésima, y
denotaremos con A i ; luego, la matriz A puede expresarse en vectores filas, así:

 A1 
A 
2
A=  
 . . .
 
A m 

 a 1j 
a 
2j
Cada columna   de Allamaremos vector columna j-ésima de A, y denotaremos con
. . .
 
 a mj 

A j ; luego, la matriz A puede expresarse en vectores columnas, así:



A = A1

A2 . . . An



EJEMPLO 1. A continuación tenemos una matriz cuadrada A de orden 3x3, y una matriz
rectangular B de orden 2x3

10

Álgebra Lineal

Ing. Juan Obando

 1 2 3
 3 4 2
A   3 7 9 , B  

9 7 5 
2 4 7 
NOTA.En esta parte veamos algunos tipos de matrices:
1) Identidad (I) , si  i =1,...,n aii =1 y ceros los demás elementos; 2) Matriz cero, si i,j
a ij = 0; 3) Si A = (aij) se llama transpuesta de A y se denota A t a la matriz A t = (aji) ;
4) Simétrica si A = A t ; 5) Antisimétrica si A = - A t ; 6) A M nxn K  se dice Escalar si
es de la forma aI; 7) Triangular superior si a ij = 0 cuando i>j; 6)Triangular inferior

si a ij = 0 cuando i Idempotente si A 2 = A; 11) Nilpotente si A n =0 para algún entero positivo n;
12) A M nxn K  se dice Involutiva si A 2 = I, 13) Ortogonal si A.t A = I. Se llama Matriz
conjugada de A y se denota A a la matriz A  (a ij ) ; 11) Hermitiana si A = A t ,
12) Antihermitiana si A= - A t ; 13)Unitaria si A A t = I.
DEF. Sea A M nxn K  . Se llama Traza de A al número: Trz(A) =

n

a
i 1

ii

2.1.1 Operaciones algebraicas con matrices: Adición, multiplicación, potenciación
2.1.1.1 Adición
Sean A,B M mxn K 

 a 11
a
21
A= 
 .

a m1

a 12
a 22
.
a m2

. . a 1n 
. . a 2n 
;B=
. . . 

. . a mn 

 b 11
b
 21
 .

b m1

b 12
b 22
.
b m2

. . b 1n 
. . b 2n 
. . . 
. . b mn 

la adición entre A y B se define así:

 a 11  b11
a  b
21
21
A+B := 

.

a m1  b m1

a 12  b12
a 22  b 22
.

. .
. .
. .

a 1n  b1n
a 2n  b 2n
.

a m2  b m2

. . a mn






 b mn 

Ahora de manera corta; sean A  a ij  , B  b ij  matrices de orden mxn; entonces se tiene:

 

A+B = c ij

donde i,j 1im, 1jn c ij  a ij  b ij

DEF. Se llama opuesta de A ala siguiente matriz:

11

Álgebra Lineal

 - a 11
- a
 21
A


 ..

- a m1

Ing. Juan Obando

..... - a 1n 
..... - a 2n 
.....
.. 

..... - a mn 

- a 12
- a 22
..
- a m2

NOTA. La sustracción se define así: A-B:= A+(-B)
2.1.1.2 Multiplicación
Sean: A M mxn K  , B M nxp K  , la multiplicación entre A y B se define así:

 n
  a 1i b i1
 i n1

AxB :=   a 2i b i1
i 1
.
 n
 a mi b i1
 i 1

n

1i

b i2

a

2i

b i2

i 1
n

i 1
n

.

a


b ip 
i 1

n
. .  a 2i b ip 

i 1

. .
.
n

. .  a mi b ip 

i 1
n

a

mi

i 1

b i2

. .

a

1i

resulta una matriz de orden mxp, donde m es el número de filas de A y p el número de
columnas de B.
De manera corta, la multiplicación se define así:
n

AB = (aij)(bjk) = (cik), donde i 1im , k...

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