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Variable aleatoria





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Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentesvalores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico,un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).
Definición de variable aleatoria[editar]

Concepto intuitivo[editar]

Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe unadistribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesarioconsiderar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Definición formal[editar]

Una variable aleatoria (v.a.) X es unafunción real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.1 2


X:\Omega\to \mathbb R

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.3 4

Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal{A}, P) y un espacio medible (S, \Sigma), una aplicación X:\Omega \longrightarrow S es una variable aleatoria si es una aplicación \mathcal{A},\Sigma-medible.

En la mayoría de los de \mathbb{R}), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad (\Omega,\mathcal{A},P) una variable aleatoria real es cualquier función \mathcal{A}/\mathcal{B}(\mathbb R)-medible donde \mathcal{B}(\mathbb R) es la σ-álgebra boreliana.

Rangode una variable aleatoria[editar]

Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función X, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:...


R_X = \{x\in\mathbb R |\ \exists \, \omega\in \Omega :X(\omega) = x \}

Ejemplo[editar]

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
\Omega = \left\{\textrm{cc, cx, xc, xx}\right\},
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se...