Algebra 3

Despeje y sustitución algebraica

En una ecuación, despejar significa dejar sola una incógnita por medio de operaciones.
     Ejemplo:
      Despejar x de la siguiente ecuación:
[pic]
      Para despejar la incógnita hay que restar las 4 unidades que la acompañan; pero, para que la igualdad se conserve, debe restarse a cada miembro de la igualdad:
[pic]
      Despejando:
[pic]
         Cabe recordar que cada elemento se elimina por medio de su operación inversa, así, la operación que se aplique en un miembro de la igualdad debe aplicarse también al otro.
Sustituciones
Hay igualdades donde una incógnita representa a otra expresión algebraica y es necesario hacer sustituciones. Por ejemplo:
     Si u = x + 5 y v = 2u - 3
¿Cuál sería el equivalente de v si se sustituye u por x+ 5?
v =2( x +5) - 3
v = 2x +10 - 3
v = 2x +7

Ecuaciones lineales

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita con el que se cumple la igualdad.
Ecuaciones con paréntesis
Dada la ecuación:
2(x + 4) = 30
     la x se despeja aplicando la propiedad distributiva; esto es, multiplicando el 2 por cada uno de los elementos dentro del paréntesis:
2x + 2(4) = 30.
    Luego, se aplica la propiedad uniforme, esto es, agregar un número a ambos miembros de la ecuación, para despejar el término que contiene la incógnita:
2x + 8 - 8 = 30 – 8
2x = 22
     Finalmente, se despeja la incógnita:
[pic]
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Dada la ecuación:
[pic]
     Se despeja el término que contiene
la incógnita:
[pic]
     Se despeja la incógnita:[pic]
Ecuaciones que se reducen a lineales, previa transformaciones
Dada la ecuación:
(x – 6) (x + 3) = x2 – 6x
 
     Se realizan las operaciones
indicadas en cada término:
x2 + 3x –18 = x2 – 6x
     se reducen o eliminan términos
semejantes:
-18 = -3x
     y se despeja la incógnita:
[pic]

Ecuaciones lineales o de primer grado

Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce elvalor de una o más cantidades (incógnitas). Ejemplo:
     Pedro va a la tienda a comprar un pan de caja que costaba x pesos y se encuentra con que el precio se elevó $1.15, por lo que pagó $3.00. ¿Cuánto costaba el pan anteriormente?
     Procedimiento:
     El pan cuesta actualmente $1.15 más que antes, o sea:
x + 1.15
     y paga $3.00; entoncesla expresión resulta:
[pic]
     Antes de resolver el problema es importante hacer una estimación de lo que se debe obtener. Si el resultado fuera x = 2, se tendría 2 + 1.15 = 3.15, que es ligeramente mayor que la suma del problema. De aquí se deduce que la solución debe ser menor que $2.00.
x + 1.15 = 3
     Lo que se pretende es encontrar el valor desconocido (x). Sise resta 1.15 a los dos miembros (lados) de la igualdad, buscando que la literal quede despejada (sola), se obtendrá el resultado:
                        (x + 1.15) – 1.15 = 3 – 1.15
x  =  1.85
     Resultado: El pan costaba $1.85
     La igualdad que se forma de x + 1.15 = 3, recibe el nombre de ecuación y la cantidaddesconocida, la cual hace que la igualdad se cumpla, se llama incógnita.
     Para resolver ecuaciones, convienen recordar que se debe efectuar la misma operación (sumar, restar, multiplicar, dividir…), con un mismo valor, a los dos miembros de una igualdad sin que ésta se altere (propiedad de la uniformidad). Ejemplo:
     Si tenemos la igualdad 5 + 3 = 6 + 2
[pic]
     Sumando 1 a los dos miembros,tenemos:
(5 + 3) + 1 = (6 + 2) + 1
     La igualdad permanece, pues el primer miembro tiene el mismo valor que el segundo.
     Restando 7 a los dos miembros, se tiene:
(5 + 3) – 7 = (6 + 2) – 7
     Multiplicando ambos miembros por 4:
(5 + 3) x 4  = (6 + 2)  x 4
      Dividiendo los dos miembros entre 8:
[pic]
     Ejemplo:
2x – 3 = 7...