Algebra Basica

CAPITULO 1

LOS NÚMEROS REALES, UN CUERPO ORDENADO Y COMPLETO

INTRODUCCIÓN

Nuestro propósito es mostrar los números reales como un conjunto que posee una estructura de cuerpo ordenado y completo. Para ello, como punto de partida, debemos suponer que los alumnos tienen un cierto grado de conocimiento con algunos conceptos básicos de la teoría de conjuntos, como así también de la idea denúmero y, en particular, de las ideas de número natural, número entero y racional.

Sólo para ponernos de acuerdo en las notaciones es que aprovechamos esta introducción para hacer un recuento de algunas de las definiciones importantes:


Definición: Sea A un conjunto no vacío, entonces llamaremos operación binaria interna en A, a una regla que permite asociar a un elemento del productocartesiano A x A, con un único elemento de A.


A x A A


(x, y) x o y = z

Notación
El elemento z ( A puesto en relación con el par ordenado (x, y) ( A x A mediante la relación interna se denota z = x o y, en donde “o” indica la “operación de x con y”.

Ejemplos
Si ( es el conjunto de los números naturales y “o” es la operación usualde suma denotada por + entonces:

N x N N
(x, y) x + y = z

(3,4) 3 + 4 = 7

Si Z es el conjunto de los números enteros y “(” denota la operación usual de multiplicación entonces:

Z x Z Z
(x, y) x ( y = z
(3,4) 3 ( 3 ( 4 = 12Observación: Una operación binaria interna en un cuerpo A puede o no tener las siguientes propiedades:

i) Puede o no ser conmutativa.
ii) Puede o no ser asociativa.
iii) Puede o no tener elemento neutro en A.
iv) Un elemento en A puede o no tener inverso en A mediante la operación.
v) Puede o no ser distributiva con respecto a otra operación.

En ladefinición del cuerpo de los números reales, las operaciones que se definirán, deberán cumplir con alguna de estas propiedades.

EL CUERPO R DE LOS NÚMEROS REALES

DEFINICIÓN: Por cuerpo R entenderemos la terna (R, +, . ), en donde R es un conjunto no vacío; + y . son dos operaciones internas llamadas suma y multiplicación, definidas como sigue:

+ : R x R R
(x, y)z = x + y

( : R x R R
(x, y) z = x ( y

Nota: Si no hay confusión x ( y se anotará simplemente xy.

Las operaciones definidas anteriormente satisfacen los siguientes axiomas:

AXIOMAS DE LA SUMA

A1 : (a + b) + c = a + (b + c) (asociatividad)
A2 : a + b = b + a (conmutatividad)
A3 : ( 0 ( R talque 0 + a = a + 0 = a, ( a ( R (neutro aditivo)
A4 : ( a ( R, ( ( a ( R tal que a + ((a) = 0 (inverso aditivo)

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN

M1 : (a . b) . c = a . (b . c) (asociatividad)
M2 : a . b = b . a (conmutatividad)
M3 : ( a ( R, ( 1 ( R tal que a ( 1 = 1 ( a = a (neutro multiplicativo)
M4 : ( a ( R, a ( 0, ( a-1 ( R tal que a ( a-1 = a-1 ( a = 1(inverso multiplicativo)


AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD:

D : a (b + c) = ab + ac, ( a, b, c ( R

AXIOMA DE LA NO TRIVIALIDAD:

N.T. : 1 ( 0

Decimos entonces que (R, +,(), con la axiomática anterior posee estructura de cuerpo conmutativo.


Observación: Para que un conjunto con dos operaciones internas posea estructura de cuerpo no es necesario el axioma M2, si además losatisface, como en el caso de (, decimos que el cuerpo es conmutativo.



Algunas consecuencias de los axiomas anteriores

1. El elemento neutro aditivo, es único.
2. El inverso aditivo de cada número real es único.

Definición: x + (–y) = x – y

3. La diferencia a – b es la única solución de la ecuación: b + x = a.
4. ( x ( R se tiene x ( 0 = 0 ( x = 0
5. x ( y = 0 ( x...