Algebra boleana.

Definiciones Básicas

El álgebra Booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse como un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas noprobados o postulados.

Los postulados de un sistema matemático forman lo supuestos básicos mediante los cuales es posible deducir las reglas, teoremas y propiedades del sistema. Así entonces, el álgebrabooleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B {0,1} junto con dos operadores binarios + y ° siempre que se satisfagan los siguientes postulados propuestos por E. V.Huntington en 1904:

1) a) cierre con respecto al operador +
b) cierre con respecto al operador °
ya que el resultado de cada operación sólo es 0 ó 1

2) Un elemento identidad conrespecto a + designado por 0:
a) x + 0 = 0 + x = x

Un elemento identidad con respecto a ° designado por 1:
b) x ° 1 = 1 ° x = x

3) Conmutativo con respecto a +
a) x + y = y + xConmutativo con respecto a °
b) x ° y = y ° x

4) ° distributivo sobre el +
a) x ° (y + z) = (x ° y) + (x ° z)

+ distributivo sobre el °
b) x + (y ° z) = (x + y) ° (x + z)

5) Para cadaelemento x  B, existe un elemento x’  B (denominado complemento de x) tal que:
a) x + x’ = 1 y
b) x ° x’ = 0

6) Existen cuando menos dos elementos x, y  B tales que x  y


El postulado 1 decierre es obvio por las tablas, ya que el resultado de cada operación es, ya sea 1 o 0, y 1,0 B.

Postulado 2. A partir de las tablas puede verse que:

a) 0 + 0 = 0 y 0 + 1 = 1 + 0 = 1
b) 1 °1 = 1 y 1 ° 0 = 0 ° 1 = 0

Establece que los elementos identidad son 0 para + y 1 para ° como se define en el postulado 2.

Postulado 3. las leyes conmutativas son obvias por la simetría de lastablas del operador binario.

Para el caso del postulado 4, se comprueba mediante:

x ° (y + z) = (x ° y) + (x ° z)

x + (y ° z) = (x + y) ° (x + z)

x y z y ° z x + (y ° z) x + y x + z (x...