algebra booleana

Álgebra booleana

Ing. Bruno López Takeyas

ÁLGEBRA BOOLEANA

• Desarrollada por George Boole
• Herramienta

para representar proposiciones
lógicas en forma algebraica

• Se

aplica en representación de circuitos
lógicos y diseño digital

• Uso

EXPRESIONES BOOLEANAS

de variables booleanas (cuyos valores
son 1 ó 0)

• Ver

ejemplo 5.1 (pág. 179) del libro
Matemáticaspara la computación de José A.
Jiménez Murillo

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• Minitérmino:

Es un producto booleano en la
que cada variable aparece sólo una vez; es
decir, es una expresión lógica que se
compone de variables y los operadores
lógicos AND y NOT. P. ejem. ABC y AB’C.• Maxitérmino:

Es una expresión lógica que
se compone de variables y los operadores
lógicos OR y NOT. P. ejem. A+B’+C y
A’+B+C.

• En

álgebra booleana, se conoce como forma
canónica de una expresión, a todo producto
o suma en la cual aparecen todas sus
variables en su forma directa o inversa.

• Una expresión lógica puede expresarse en
forma canónica usando minitérminos omaxitérminos.
• Todas
las
expresiones
lógicas
son
expresables en forma canónica como una
“suma de minitérminos” o como un
“producto de maxitérminos”.

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PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES
BOOLEANAS
a) Formadas con variables booleanas
b) Valores de 1 (verdadero) ó 0(falso)
c) Puede tener constantes booleanas (1 ó 0)
d) Puede tener operadores lógicos: AND (&,
^), OR (V) y NOT (¬, ‘, -, ~)
• Multiplicación lógica: AND
•
xy = x ∙ y = (x)(y)
• Suma lógica: OR
•
x+y
• Complemento (negación): NOT
•
x’
e) Se puede obtener el resultado lógico de
una expresión booleana aplicando las tablas
de verdad (valores de certeza)
f) Se puede aplicar la Ley deMorgan

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EJEMPLO DE EXPRESIONES BOOLEANAS

• Suponga

que un sistema lógico tiene 3
variables de entrada (A, B y C) y la salida
de la función (F) se comporta de acuerdo a
la siguiente tabla de verdad:

A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1C
0
1
0
1
0
1
0
1

F
0
1
0
0
1
0
1
0

Representación de la expresión booleana:

F = A’B’C + AB’C’ + ABC’

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LEYES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
1.- Existencia de neutros
x+0=x
x∙1=x
2.- Conmutatividad
x+y=y+x
x∙y=y∙x
3.- Asociatividad
x +(y + z) = (x + y) + z
x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z
4.- Distributividad
x + (y ∙ z) = (x + y) ∙ (x + z)
x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z
5.- Complementos
x + x’ = 1
x ∙ x’ = 0

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TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
1.- Idempotencia
x+x=x
x∙x=x
2.- Identidad de loselementos 0 y 1
x+1=1
x∙0=0
3.- Absorción
x + (x ∙ y) = x
x ∙ (x + y) = x
4.- Complemento de 0 y 1
0’ = 1
1’ = 0
5.- Involución (doble negación)
(x’)’ = x
5.- Leyes de Morgan
(x + y)’ = x’ ∙ y’
(x ∙ y)’ = x’ + y’
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a) Cambiar cada + por ∙ y viceversa
b)Complementar (negar) cada término
c) Complementar
(negar)
la
expresión
completa

TABLA DE TEOREMAS DEL ÁLGEBRA
BOOLEANA
Núm
Teorema
1 0A = 0
2 1A = A
3 AA = A
4 AA’ = 0
5 AB = BA
6 ABC = A(BC)
7 (ABC)’ = A’+B’+C’
8 AB+AC = A(B+C)
9 AB+AB’ = A
10 A+AB = A
11 A+A’B = A+B
12 CA+CA’B = CA+CB
13 AB+A’C+BC=AB+A’C

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Dual
1+A=1
0+A=A...