Algebra Booleana

INTRODUCCIÓN

El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés" hasta 1938. A continuación sepresentan los postulados fundamentales del álgebra de Boole

Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se presentan los postulados que definen elálgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes.

ÁLGEBRA BOOLEANA

Álgebra de Boole en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

CARACTERISTICAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA
Un álgebra de Boole es unconjunto en el que destacan las siguientes características:

1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.

2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)

3- Tiene las siguientespropiedades:
* Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
* Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
* Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
* Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
* Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
* Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)(y + z)
* Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
* Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
* Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
* Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:
TEOREMA 1
Ley Distributiva
A (B+C) = AB+AC
A | B | C | B+C | AB | AC | AB+AC |A (B+C) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
TEOREMA 2
A+A = A
AA = A
A | A | A+A |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |

A | A | AA |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |TEOREMA 3
Redundancia
A+AB = A
A | B | AB | X |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
A (A+B) = A
A | B | A+B | X |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
TEOREMA 4
0+A = A
Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra
A | B=0 | X |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1A = A
Equivalente a unacompuerta AND con una de sus terminales conectada a 1
A | B=1 | X |
0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 |
1+A = 1
A | B=1 | X |
0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 |
0A = 0
A | B=0 | X |
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 |

Propiedades del álgebra de Boole
* Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
* Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
* Maximalidad del 1: x + 1 = 1
*Minimalidad del 0: x0 = 0
* Involución: x'' = x
* Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
* Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
* Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
* Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

FUNCIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE
Una función booleana es una función cuyo dominio son las...