Algebra Booleana

UNIDAD 4

ÁLGEBRA BOOLEANALa herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana. |
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores,etc). En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como Tablas de verdad y diagramas de Venn

Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas(similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes, se presentan también los tresejemplos clásicos de álgebras boolenas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas de verdad y diagramas de Venn..  

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA  |
El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en suartículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primerasaplicaciones a circuitos de conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés" hasta 1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales del álgebra de Boole |
Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadoresfundamentales: AND (y), OR (o) y NOT (no). De esta forma se finca la lógica algebraica Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadores, circuitos eléctricos, etc.
Para explicar And, podemos hablar del valor del cero, dará evidentemente cero, para lo cual gráficamente se muestran dos compuertas, donde la información fluirá siempre y cuando en ambas haya información, de no serasí la respuesta es no hay información:
A and B = C 0 + 0 = 0 0 + 1 = 0 1 + 0 = 0 1 + 1 = 1 Por su parte para el valor de OR, señala que sí en alguna de las entradas hay información pues se determina que sí existe en alguna de las dos compuertas el flujo de datos:
A or B = C 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 En cambio para las compuertas del NOT, observamos lo siguiente: se cuenta con unasola entrada de compuerta, la cual niega la entrada de uno. Sí en A hay un cero, lo niega, y al negar al cero, el valor es 1.
not A = B 0 1 1 0
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, eloperador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario sipara cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice qu un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son...