Algebra de Boole

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirlacomo parte de un sistema lógico en el año 1854, en su tratado An investigation of the laws of thought on which to found the mathematical theories of logic and probabilities. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseñoelectrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta logica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.


Contenido
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1Definición
1.1 Como retículo
2 Operaciones
2.1 Operación suma
2.2 Operación producto
2.3 Operación negación
2.4 Operaciones combinadas
3 Leyes fundamentales
3.1 Principio de dualidad
4 Otras formas de notación del álgebra de Boole
5 Álgebra de Boole aplicada a la informática
5.1 El 0 lógico
5.2 El 1 lógico
6 Jerarquía de los operadores
7 Circuitos combinacionales
8 Véase también
9Enlaces externos
10 Referencias
11 Bibliografía
[editar] Definición
Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , + y son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:


2. Propiedad asociativa:


3. Propiedad distributiva:


4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:


5. Propiedadde los opuestos. Existe tal que:



0
1
1
1
0
1







0
1
0
1
0
0



Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y dela propiedad o Ley e Absorción.[1]
[editar] Como retículo
Como retículo presenta las siguientes propiedades,las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia:


2. Ley de Asociatividad:


3. Ley de Conmutatividad:


4. Ley de Cancelativo


5. Ley de Absorción


[editar] Operaciones
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica elálgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:
[editar] Operación suma
a
b
a + b
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultadoserá 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.






[editar] Operación producto
a
b
a b
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, siuno solo de ellos es 0 el resultado será 0.






[editar] Operación negación
a

0
1
1
0
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:





[editar] Operaciones combinadas
a
b


0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más...