ALGEBRA DE ESTRUCTURA CAP I

Algebra de Estructuras
C´pitulo I: Preliminares
a
Luis Astorga Junquera
Carrera de Ingenier´ Inform´tica
ıa
a
Departamento de Ciencia y Tecnolog´
ıa
Universidad Nacional Experimental de Guayana

April 8, 2011

1

Elementos de la teor´ de conjuntos
ıa

La teor´ de conjuntos se construye a partir de dos tipos de objetos: elementos y
ıa
conjuntos; y de dos tipos de relacionesfundamentales entre ello: la pertenencia
y la inclusi´n.
o
Elementos: Representan las cosas a las que se quiere hacer referencia, y los
designamos con s´
ımbolos que llamamos variables, es decir, como comodines que
pueden asumir la forma de cualquier objeto, y para elletras latinas min´sculas:
u
x, y, z, w; a veces indexadas, como por ejemplo x1 , x2 , ..., xn .
Conjuntos: Representancolecciones de elementos definidas por propiedades
espec´
ıficas, generalmente expresadas como predicados l´gicos. Los conjuntos los
o
designamos con letras latinas may´sculas: A, B, C, ..., X, Y, Z; a veces indexu
adas, como por ejemplo A1 , A2 , ..., An , y siempre se definen entre llaves {...}.
Adem´s,
a
1. Asumimos que en un conjunto un mismo elemento no se repite.
2. Asumimos la existencia deun unico universo de significaci´n, que
´
o
llamaremos U, continente de todos los objetos imaginables dentro de la teor´
ıa,
elementos y conjuntos.
3. Asumimos la existencia de un conjunto especial y unico sin elementos,
´
llamado el conjunto vac´ y designado por la letra n´rdica ∅.
ıo,
o
4. A cada conjunto se le asigna una magnitud (eventualmente infinita),
llamada cardinalidad, que essu dimensi´n o tama˜o. La cardinalidad de un
o
n
conjunto A se expresa como #(A).
Pertenencia: Es un predicado cierto sobre un elemento y un conjunto cuando
el elemento es miembro, o pertenece, al conjunto, que se expresa por medio del
s´
ımbolo ∈. Un ejemplo es 0 ∈ N para afirmar que el cero es un n´mero natural.
u
Su negaci´n, es decir, la afirmaci´n de su contrario l´gico, se expresapor medio
o
o
o
del s´
ımbolo ∈, como en el ejemplo π ∈ N para afirmar que el n´mero pi no es
/
/
u
un n´mero natural.
u

1

Inclusi´n: Es un predicado cierto sobre dos conjuntos cuando el primero
o
est´ contenido en el segundo, denotado con el s´
a
ımbolo ⊆. Por ejemplo, N ⊆ Z
para afirmar la interpretaci´n de los n´meros naturales como n´meros enteros.
o
u
u
Cuando unconjunto est´ incluido en otro se dice que es su subconjunto:
a
A ⊆ B ⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
El s´
ımbolo expresa la negaci´n de la inclusi´n, como en el caso Z N.
o
o
La igualdad de dos conjuntos se define en t´rminos l´gicos como el equivae
o
lente de la conjunci´n de las inclusiones rec´
o
ıprocas, es decir,
A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

1.1

Tipos de definici´n
o

En t´rminos generales, losconjuntos se definen expresamente con la notaci´n
e
o
simb´lica
o




X :=
.....................


nombre

descripci´n del contenido
o

donde el s´
ımbolo := se lee: ”se define como el conjunto...”.
La descripci´n del contenido de los conjuntos se puede hacer de dos maneras:
o
Descripci´n por extensi´n: Cuando se muestra la totalidad de los elementos,
o
o
de maneraexpl´
ıcita, si el conjunto es finito y peque˜o, como en el conjunto de
n
d´
ıgitos de la numeraci´n ar´biga
o
a






0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
D :=




todos los elementos del conjunto

o de manera impl´
ıcita usando tres puntos suspensivos que significan ”... y as´
ı
sucesivamente hasta...” cuando el conjunto es finito y grande, como el alfabeto
latino





A := a, A, b, B, c, C, ...,
z, Z




primeros elementos

ultimos elementos
´

o cuando el conjunto es infinito como el caso de los n´meros naturales
u
N := {0, 1, 2, 3, ...}
Descripci´n por comprensi´n 1 : Cuando se expresa en el lenguaje de la l´gica
o
o
o
de predicados la propiedad que deben cumplir los elementos que pertenecen al
conjunto;






X...