Estructuras algebraicas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
UNEFA - FALCÓN SEDE CORO


Estructuras Algebraicas










BACHILLERES:

* Acurero, Jesired C.I: 20.084.923
* Álvarez Jonatan C.I:
* Miquilena, Anabel C.I: 19.252.151
* Vega Diana C.I:
IS6D-A

SANTAANA DE CORO; OCTUBRE DE 2009
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1. Definición
Una estructura algebraica es un objeto matemático formado por un conjunto no vacío combinado con una o varias leyes de composición interna, eventualmente completadas por un orden o una topología, el todo satisfaciendo un cierto número de axiomas.
2. Grupos
El par (G,*) es una estructura de grupo si y sólo si cumple con lossiguientes axiomas:
A1) * es una ley de composición interna, o sea:

A2) * es asociativa, o sea:

 A3) Existe un elemento “e” neutro, o sea: 

 A4) Existencia del electo inverso para todo elemento de G, o sea: 

 Ahora, si además de estas propiedades cumple con la propiedad conmutativa el grupo se denomina conmutativo o abeliano, o sea:
 A5) * es conmutativa, o sea:

 Por ejemplo:
 (Z,+) con Z esel conjunto de números enteros y + la operación adición ordinaria, y es un grupo abeliano.
 (Q, ·) siendo Q el conjunto de números racionales y · el producto ordinario, no es un grupo, ya que el 0 no posee inverso.
 (Q-{0}, ·) es un grupo abeliano.
 Ejemplo:
Sea (Z, *) donde a*b =a+b+b2, probar que es un grupo abeliano:
A1) * es una ley de composición interna en Z 

Esto lo justifica que la adicióny la potenciación de números enteros es otro entero.
 A2) * es asociativo en Z 

 Como los segundos miembros son iguales, entonces los primeros también lo son, luego: 

 A3) Existencia del elemento neutro (e): 
 
Ahora, hacemos:
Por lo tanto el elemento neutro es e=0
A4) Existencia del elemento inverso para cualquier elemento de Z, o sea:
 
 Ahora probamos con: 

Por lo tanto el elementoinverso es
Con estas cuatro demostraciones aseguramos que (Z,*) es un grupo
Ahora hacemos:
 A5) Probamos la conmutatividad
 
Esto es aplicando la propiedad conmutativa de la adición y del producto.
PROPIEDADES DE LOS GRUPOS
 Propiedad 1: Propiedad cancelativa de los grupos
 Sea (G,*) un grupo, entonces se verifica
a)     a * c = b * c Þ a = b
b)    c * a = c * b Þ a = b
* Demostración
Teniendo encuenta la existencia del inverso en el grupo, aplicamos la composición al inverso de “c”, o sea c’ y además la propiedad asociativa, y se tiene:
a)
b)
Propiedad 2
El elemento neutro en una estructura de grupo es único, o sea:
Sean e y e’ neutros en (G,*) Þ e = e’
* Demostración
Como e’ es neutro Þ e * e’ = e’
Como e es neutro Þ e * e’ = e
Y por transitividad, se tiene que e = e’
 
Propiedad 3El elemento inverso de un elemento de (G, *) es único
Sean a’ y a” inversos de a Þ a’ = a”
* Demostración:
Como a’ es inverso de a Þ a * a’ = e
Como a” es inverso de a Þ a * a”= e
Luego a * a’ = a * a” y aplicando la propiedad cancelativa queda a’ = a”
 Propiedad 4
El inverso del inverso de un elemento de (G, *) es el mismo elemento (a’)’=a
* Demostración:
Sea aÎG Þ a * a’ = e
Por otro lado(a’)’ * a’=e
O sea que a * a’ = (a’)’ * a’ y aplicando la propiedad cancelativa, queda a = (a’)’
 Propiedad 5
El inverso de una composición es igual a la composición de los inversos.
(a * b)’ =a’ * b’
* Demostración:
Se sabe que a’ * b’ * a * b =e
Y por otro lado que (a * b)’ * (a * b) = e
Luego se tiene: a’ * b’ * (a * b) = (a * b)’ * (a * b) y cancelado se llega a: a’ *  b’ = (a * b)’ Propiedad 6
Sea (G, *) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
a)     (G, *) es un grupo abeliano
b)    (a * b)’ = a’ * b’ "a, b Î G
O sea que:
 (G, *) es grupo abeliano Û (a * b)’ = a’ * b’
* Demostración:
Si se cumple la primera, o sea que si (G, *) es un grupo abeliano, por la propiedad anterior se cumple que (a * b)’ = a’ * b’ = b’ * a’
Ahora si:

Con lo que se demuestra que  (G,...