ESTRUCTURA ALGEBRAICAS


INTRODUCCION

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones polinómicas, comenzando por Evariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizo y se estableció firmemente en torno a 1870. La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en si;con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en trozos más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos similares. Así como también dentro de la estructura algebraica encontraremos los términos de anillos conformados (por un conjunto y dos operaciones relacionados entre propiedades) y el objeto básico de estudioen la rama de la matemática llamada algebra lineal, en este caso (vectores).
















I. Grupo : Definición y Características

Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunascondiciones llamadas Axiomas de grupo; estas condiciones son; tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso.

Asociativa: Para cualquiera elemento del grupo no importa el orden del grupo no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado.
Elemento identidad: comúnmente denotado como“e”, letra inicial de la palabra alemana “einheit” que significa “unidad”: en todo grupo existe un elemento que al ser operado con cualquier otro, no lo modifica ( como el 0 en la suma o el 1 en la multiplicación ). Es decir, la unicidad del elemento neutro es fácilmente demostrable.
Elemento Inverso: todos los elementos del grupo tienen un elemento opuesto (o inverso) con el que al operarse danpor resultado el elemento neutro “e”, es decir, el elemento inverso de uno dado es único.

Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y sufuncionamiento. Esto permite, en algebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos.
EJEMPLO
Considere el número complejo u = exp (2πi/3) que tiene la propiedad u³ = 1. El grupo cíclico C3 = { 1, u, u² } tiene una representación ρ dada por:

(Las tres matrices son ρ(1),ρ(u) y ρ(u²) respectivamente). Esta representación se dice fiel, porque ρ es inyectiva.
Equivalencia de las representaciones:
Dos representaciones ρ1 y ρ2 se dicen equivalentes si las matrices se diferencian solamente por un cambio de base, es decir si existe A en GL(n, C) tal que para todo el x en G: ρ1(x) = Aρ2(x)A-1. Por ejemplo, la representación de C3 dado por las matrices:




II. Representaciónde Permutaciones S3

Antiguamente se definía una permutación, así: Sea un numero n de objetos, (n >1) alineados en una mesa con el fin de poder atribuir a cada cual su rango; el objeto mas a la izquierda es el primero, el que le sigue el segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelve a colocar en una fila, en cualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos,o lo que viene a ser lo mismo, los numero de 1 a n. La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los objetos.

Sea σ(1)= …,σ(2)=…hasta σ(n)=... lo que no resulta muy económico porque se repite así n veces la letra σ y se escriben 2n paréntesis. Existen varias maneras de ahorrar esfuerzos…

La primera idea es escribir o bajo forma de una...