Algebra De Matrices

ALGEBRA DE MATRICES

1.2 Tipos y Definiciones Básicas de Matrices |
Matriz | Tabla ordenada de nº reales en m filas y n columnas.
La matriz A tiene dimensión 3x4, siendo m = 3 y n = 4
Los elementos en rojo forman la diagonal principal. | A = | ( | 3 | -1 | 0 | 4 | ) |
| | 0 | 6 | 2 | -7 | |
| | 1 | 5 | 7 | -9 | |
|
Matriz fila | Unamatriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas. | A = |
Matriz columna | La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas. | B = |
Matriz simétrica | Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. | |
Matriz Rectangular | La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. | A = |Matriz
nula | Todos y cada uno de sus elementos son cero. | 0 = | ( | 0 | 0 | ) |
| | 0 | 0 | |
| | | | |
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Matriz
unidad o
identidad | Matriz cuadrada con los elementos de la diagonal
principal todos uno y el resto todos cero.
Se denomina como In , siendo n el orden de la matriz. | I2 = | ( | 1 | 0 | ) |
| | 0 | 1 | |
|
Matriz
triangular | Si los elementos pordebajo de la diagonal principal 
Y al revés sería una matriz triangular inferior. | Tsup = | ( | 3 | -1 | 0 | | ) |
| | 0 | 6 | 2 | | |
| | 1 | 5 | 7 | | |
| |
| |
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Matriz triangular superior | En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. | |
Matriz singular | Una matriz singular no tiene matriz inversa. | |Matriz triangular inferior | En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. | |
Matriz diagonal | En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. | |
Matriz regular | Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. | |
Matriz escalar | Una matriz escalar es unamatriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. | |

1.3 OTROS TIPOS DE MATRICES Y DEFINICIONES RELACIONADAS
1.3.1 Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, esun anillo que generalmente no es conmutativo.
M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. :

Lamatriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que AB =BA.=In
En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A^ (-1) (Se lee matriz A elevada a la menos 1).

1.3.2 Matriz ortogonalLas matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa enla formulación de ciertas teorías de campos.
Definición: Sea  n un número entero y sea A una matriz cuadrada n por n, con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si:

Donde  representa la matriz traspuesta de  e  representa la matriz identidad.
Ejemplos

Supongamos que la matriz de números reales

es ortogonal y su determinante es +1. Su transpuesta es igual a su inversa...