Algebra de matrices

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Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Facultad de Ciencias de la Administración Centro Universitario de Chimaltenango Matemática aplicada II Ing. Jorge Rivera

ALGEBRA DE MATRICES Explicaciones generales matriz 3 x 4 fila columna

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz. Ejemplo: 1 2 3 4  5 6 7 8 3 filas   La matriz es 3 x 4 9 10 11 12     4 columnas

Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A. Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B. Ejemplos:

 a11 A = a21   a31 

a12a22 a32

a13  a23   a33  

b11 b12 B = b21 b22  b31 b32 

b13  b23   b33  

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado. 1 2 3 4 5 6 7 8  A=  9 10 11 12   13 14 15 16 2 __________ 7 __________ 9 __________ 14 __________

Suma de matrices

Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo númerode filas y columnas. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn Ejemplo: Suma las matrices A + B A= 1 3 5 7 B= 5 7 4 8

entonces su suma es

A + B = (ai j + bi j) mxn.

1+5=6 1 3 5 7 6 + = 5 7 4 8 3 + 7 = 10 1 3 5 7 6 10 + = 5 7 4 8 Suma a1 2
+

Suma a1 1

+

b1 1

b1 2

1 3 5 7 6 10 + = 5 7 4 8 9 5+4=9 1 3 5 7 6 10 + = 5 7 4 8 9 15 7 + 8 = 15 Propiedades: Leyasociativa Ley conmutativa Elemento neutro 0 0 0 0 Producto de un escalar
+

Suma a2 1

+

b2 1

Suma a2 2

+

b2 2

A + (B + C ) = ( A + B ) + C A+ B = B + A

1 2 3 4

=

1 2 3 4

Definición: Si kA = k(ai j) mxn Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. Ejemplo:

Opera 2A A= 1 5 3 4 2A = 2 1 5 2 10 = 3 4 6 8

Inverso aditivo (resta) A= 2 −3 4 −1 B= −4 5 −1 2Opera A – B A− B = 2 −3 − 4 5 6 −8 − = 4 −1 −1 2 5 − 3 El orden es igual que en la suma pero debes fijarte muy bien en los signos.

HOJA DE TRABAJO
En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B

1
1)

2

−1 B= 2 0

3 6 4

A= 3 4 −1 0
A=

2)

5 −2 6 −3 B= 3 8 4 9

−2
3)

5

6

−5 −2

7

A = − 4 7 −1 3 −4 2
A= 3 −2 0 −1

B = −3 4 −8 −2 −9−7

4)

1 0 2 1 B= 2 −1 − 2 3

5)

A = 1 0 B = 0 −1
5 0 4 5 7 −9 4 3 1 −1 6 −8 7 0 3 4

1 2 3 4 − 2 −3 − 4 −5 B= 6) A = 0 3 2 1 −1 2 − 2 0

7) 8)

A = 0 B = −1 A = 2 −5
A= −5 −3 − 2 −8

B= 5 7 9
B= 2 −1 −7 3

9)

Multiplicación de matrices:
Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas Si tenemos que una matriz es 3 x 5 Matriz A Matriz B y laotra 5 x 2 se puede multiplicar si

El tamaño de la respuesta es 3 x 2 3 x 5 5 x 2 Debe ser igual entonces si se puede multiplicar

Si los números centrales son iguales entonces se puede multiplicar y el tamaño de la respuesta son los números de los extremos 3 x 2

Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de larespuesta.

Matriz A 3x4 5x6 5x3 7x8 4x2 5x7 3x1 4x3 2x5

Matriz B 4x5 6x2 4x6 8x2 3x4 7x2 1x4 4x3 5x4

¿se puede multiplicar?

Tamaño de respuesta

Ejemplo:

0 1 2 × 3 4 5
Se opera asi:

33 9 10 11 =  12 13 14 

6

7

8

  

1) Reviso el tamaño de la matriz A= 2x3 B=3x3 Como son iguales se puede multiplicar. El tamaño de la matriz de la respuesta es 2 x 3 2) Siempre setoma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la 1 columna (vertical) marcada en la matriz.

(0 × 6) + (1× 9) + (2 ×12) =
0 + 9 + 24 = 33

0 1 2 × 3 4 5

33 36 9 10 11 =  12 13 14 

6

7

8

  

(0 × 7 ) + (1×10) + (2 ×13) =
0 + 10 + 26 = 36

0 1 2 × 3 4 5

33 36 39 9 10 11 =     12 13 14

6

7

8

(0 × 8) + (1×11) + (2 ×14) =
0 + 11 + 28 = 39...
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