Algebra de proposiciones

1.5. Álgebra de Proposiciones.
1.5.1. El Álgebra.
La modalidad que hemos usado en el método de derivación para probar tautologías sirve también para cambiar la forma de una proposición --estoes, reemplazarla por otra equivalente-- y eventualmente simplificarla.
Precisamente lo que pretendieron los fundadores de la Lógica Matemática fue disponer de una simbología apropiada para que ladeducción se convirtiera en un cierto cálculo, en un álgebra de proposiciones.
Esta manera de proceder no sólo tiene un carácter similar al álgebra habitual de números, sino que técnicamente es unainstancia de trabajo en una estructura matemática abstracta que se denomina álgebra de Boole.
(Otro ejemplo próximo de álgebra de Boole se obtendrá trabajando con conjuntos).
1.5.2. La Regla deSubstitución.
Es ésta una importante regla, que hemos usado anteriormente, y que ahora ponemos en evidencia.
Cuando hemos enunciado nuestras tautologías, se entiende como se dijo, que . sonproposiciones cualesquiera; el hecho que las llamemos . no es en absoluto relevante.
En otras palabras, en una tautología en que se diga . tales letras deben interpretarse como espacios en blanco que serellena con proposiciones.
Ejemplo 82
En el teorema que afirma
el hecho de que . y . sean proposiciones cualesquiera indica que, en realidad, estamos afirmando, por ejemplo
1. .
2..
3. .
4. .
5. ... etc., etc.
Veamos ahora ejemplos más 'concretos'.
Ejemplo 83
Para simplificar la expresión
.
se procede como sigue, entendiéndose que cada paso es unaequivalencia
(usaremos absorción):
.
.
.
.
.
.
.
.
Note la interesante aplicación de la ley de absorción en los últimos pasos. (Si se sigue trabajando sin ella, el ejemplo,en lugar de simplificarse, crecerá bastante, línea a línea).

Es muy interesante aprender a mirar ocasionalmente una proposición de modo que la regla de substitución evite una cantidad de cálculos...