algebra elemental

Álgebra Elemental

2013

Exponentes y Radicales
Introducción

El Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la Geometría, el
Análisis Matemático, la Combinatoria y la Teoría de Números, el Álgebra es una de las principales ramas de la
matemática.
Mientras que en aritmética sólo se analizan los números y sus operaciones aritméticaselementales (adición, sustracción,
multiplicación, y división), en Álgebra también se utilizan símbolos para denotar números.
El elemento básico del Álgebra es el llamado término, que son productos, potencias o cocientes de números y letras;
dependiendo de cuantos términos contenga una expresión algebraica, ésta se clasificará en monomio, binomio,
trinomio o polinomio.
Cada término algebraico estácompuesto por tres elementos básicos: el coeficiente, que es el número que multiplica a la
incógnita; la literal o variable, es la representación de la incógnita dentro del término; y el exponente o índice, que es el
número que acompaña a la variable en su ángulo superior derecho. El signo se debe considerar como parte del
coeficiente. Ejemplo:

–4y3

Coeficiente

Exponente

Variable

Propiedades de losexponentes
Potenciación. Si n es un número entero, entonces el término 𝑎𝑛 representa el producto de n términos a; es decir,
𝑎𝑛 = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · … · 𝑎
1

2

3

4

𝑛

En el término 𝑎𝑛 , a es llamada base y n el exponente. Este término se puede leer como la potencia enésima de a o a a
la enésima potencia.
Las propiedades de la potenciación permiten resolver por diferentes métodos una potencia.Potencia de exponente 0. La definición de potenciación se puede confirmar por recursión:
𝑎𝑛 = 𝑎 · 𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−1 = 𝑎 · 𝑎 (𝑛−1)−1

De esta situación se puede llegar a deducir que toda potencia de base distinta de cero sufre que 𝑎0 = 1. La expresión 00
es una indeterminación; puede relacionarse con la indeterminación cero entre cero.
1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

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Potencia de exponente1. Toda potencia de exponente uno es igual a la base, o 𝑎1 = 𝑎. En este caso, se tiene que la
potencia uno es el número ordinario sin operar.
Producto de potencias de igual base. El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a
y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes; es decir, cuando las mismas bases se multiplican, los
exponentes sesuman:
𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

División de potencias de igual base. La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos; es decir, cuando se dividen las mismas bases, los exponentes
se restan:
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑛

Potencia de un producto o una división. La potencia de un producto, o una división, de bases diferentes es igual alproducto, o cociente, de las potencias; es decir,

Análogamente,

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
� � = 𝑚
𝑏
𝑏

Potencia de una potencia. La potencia de una potencia de base a es igual a la base elevada a la multiplicación de ambos
exponentes; es decir, se multiplican los exponentes.
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

Potencia de exponente fraccionario. Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción; este tipo deexpresiones representan el inverso de la potenciación: la radicación. Por lo tanto, las potencias de exponente
fraccionario cumplen que
𝑚

1

𝑎 𝑛 = (𝑎𝑚 )𝑛
𝑛

= √𝑎𝑚

Potencia de exponente negativo. Es una potencia que tiene su exponente negativo; representa el inverso multiplicativo
de su contraparte con exponente positivo. Es decir,
𝑎−𝑛 =

1
𝑎𝑛

Se debe hacer hincapié en que esta propiedad sólo esválida cuando la base es diferente de cero.

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Ing. Aldo Jiménez Arteaga

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Propiedades de los radicales
𝑛

Radicales. Un radical es una expresión de la forma √𝑎 , la cual denota la raíz enésima principal de a. El entero positivo n
es llamado índice u orden, en tanto que el número a es el radicando.
Las propiedades de los radicales son iguales a las propiedades de los...