Algebra matricial notas

asNotas de clase: ´ Algebra de matrices
Humberto Sarria Zapata

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´ Indice general
1. 1.1. Matrices particionadas, multiplicaci´n de o 1.1.1. Notaci´n. . . . . . . . . . . . . . o 1.1.2. Matrices definidas por bloques. . 1.2. Multiplicaci´n de Strassen. . . . . . . . . o 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Los operadores vec y vech y el producto de Kronecker. . . . . El producto de Kronecker. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . Propiedades y reglas del producto de Kronecker. . . . . . . . La suma de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Aplicaciones: soluci´n de sistemas de ecuaciones usano do el producto de Kronecker. . . . . . . . . . . . . . . . . . Strassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 4 7 7 8 9 11

.12 17 17 18 20 23 24 24 25 25

3. 3.1. Matrices inversas laterales. . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Inversas a derecha e inversas a izquierda. . . 3.2. Algunos resultados sobre el rango de una matriz. . 3.3. Multiplicaci´n por matrices de rango completo. . . o 3.4. Matrices ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Propiedades de las matrices ortogonales. . . 3.5. MatricesHelmert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Matrices de permutaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . o 3.6.1. Efecto de multiplicar a izquierda y derecha matriz de permutaci´n. . . . . . . . . . . . . o 3.7. Inversas de matrices triangulares por bloques. . . . 3.8. Rango de matrices definidas por bloques. . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .por una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 26 . 26 . 27

31 4.1. Inversas Generalizadas o Seudo Inversas. . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1. Usos de las inversas generalizadas. . . . . . . . . . . . . 35 3

4 5.

´ INDICE GENERAL 41 5.1. Matrices idempotentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 45 45 46 49 50 51 53 53 54 57 57 57 63 65 66 73 73 80 83 88 95

6.6.1. Sistemas lineales: soluciones. . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Forma general de una soluci´n de un sistema o 6.2. N´mero de soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . u 6.2.1. Sistemas lineales homogeneos. . . . . . . . . 6.2.2. Sistemas lineales no homogeneos. . . . . . . 6.3. Sistemas lineales de la forma AXC = B. . . . . . . 6.3.1. Sistema lineal homogeneo. . . . . . . . . . . 6.3.2.Sistema lineal no homogeneo. . . . . . . . . 7. 7.1. Proyecciones y Matrices de Proyecci´n. . . . . o 7.1.1. Consideraciones geom´tricas. . . . . . . e 7.2. Matrices de proyecci´n. . . . . . . . . . . . . . o 7.2.1. El problema de los m´ ınimos cuadrados. 7.2.2. Complemento ortogonal. . . . . . . . . 8. 8.1. Formas lineales, bilineales y cuadr´ticas. . . . a 8.1.1. Descomposici´n de matricessim´tricas. o e 8.2. La inversa generalizada de Moore-Penrouse. . 8.2.1. Descomposici´n a valores singulares. . o 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap´ ıtulo 1

1.1.
1.1.1.Matrices particionadas, multiplicaci´n de o Strassen.
Notaci´n. o

Denotamos el conjunto de las matrices con m filas y n columnas con entradas o elementos reales mediante Mm×n (R). Si una matriz A ∈ Mm×n (R) tiene elementos aij , con 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, escribiremos A = (aij )m×n .

1.1.2.

Matrices definidas por bloques.

Notar las matrices en t´rminos de bloques es, en algunasocasiones, util e ´ para simplificar el desarrollo de algoritmos que hacen uso de la multiplicaci´n de matrices. Esta notaci´n permite, adicionalmente, expresar algunos o o resultados en forma muy simple. Definici´n 1. Una submatriz de la matriz A = (aij ) es cualquier matriz o que se obtiene al eliminar un n´mero no mayor a (m − 1) filas y a (n − 1) u columnas de A.   1 −1 2 3 0 1 entonces las...