Algebra Transformaciones lineales



Segundo proyecto de Álgebra Lineal

Teoría sección 3.3 Introducción a las transformaciones lineales

Las funciones aparecen en casi todas las aplicaciones de las matemáticas. En esta secciónse dará un breve introducción de ciertas funciones que mandan en , desde el punto de vista geométrico. Como se quiere dibujar esta clase particular de funciones, llamadas transformaciones lineales,se va a limitar el análisis de esta sección a la situación en que m y n tienen los valores 2 y 3.
Las transformaciones lineales tienen un papel importante en muchas áreas de las matemáticas, así comoen numerosos problemas de aplicación a las ciencias físicas, las ciencias sociales y la economía.

DEFINICÍON: Una transformación lineal L de en es una función que asigna a cada u en R un únicovector L (u) en de modo que:
(a) L (u+v) = L (u) + L (v), para cada u y v en
(b) L (ku) = kL(u), para cada u en y cada escalar k


El vector L (u) es la imagen de u y el conjunto de todas lasimágenes de los vectores en es el rango de L. como es posible pensar que está formado por puntos o por vectores, L (u), para u en , se puede considerar como un punto o un vector en .

El hecho de que Lmanda en, aunque no sea una transformación lineal como:
L: →
Si n=m, una transformación lineal L: → es llamada también un operador lineal en .

Ejemplo 1: Sea L: definida como:L (x,y,z) = (x,y)
Para verificar que L es una transformación lineal, sean
u= y v=
EntoncesL (u+v)= L (+)
= L ()=
=
Además si k es un número real, entonces

Por lotanto L es una transformación lineal, llamada proyección. La imagen del vector (o punto) (3,5,7) es el vector (o punto) (3,5).

Es sencillo y útil describir geométricamente el efecto de L. la imagen...