algebra vecotres



4.1 Definición de un espacio vectorial:

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos espacio binarias llamadas sumas y multiplicación escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación:
Axiomas
1. Cerradura bajo la suma
Si x ϵ V y y ϵ V, entonces x + y ϵ V .

2. Ley asociativa de vectores
Para todo X,Y, y Z en V,(x+y)+z=x+(y+z)

3. El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo.
Existe un vector 0 ϵ V tal que para todo x ϵ V, x+0=0+x=x

4. -x se llama inverso aditivo
Si x ϵ V, existe un vector –x en ϵ ta que x+(-x)=0

5. Ley conmutativa de la suma de vectores
Si x y y están en V, entonces x+y=y+x

6. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar
Si x ϵ V y α es un escalar, entonces αx ϵ V

7.Primera ley distributiva
Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x+y)=αx+αy

8. Segunda ley distributiva
Si x ϵ V y (α y β)x= αx+βx

9. Ley asociativa de la multiplicación por escalares
Si x ϵ V y α y β son escalarles, entonces α(βx)=(αβ)x

10. Para cada vector x ϵ V 1x=x



4.2Definición de subespacio vectorial y sus propiedades:
En álgebra lineal, un subespacio vectorial esel subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V
Propiedades:

Teorema: supongamosque W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo:
sean U y W subespacios de unespacio vectorial V. probemos que la intersección UᴖW es también subespacio de V. claramente, 0 ϵ U y 0 ϵ W, porque U y W son subespacios, de donde 0 ϵ UᴖW. supongamos ahora que u, v ϵ UᴖW. entonces u, v ϵ U y u, v ϵ E y, dado que U y W son subespacios, u+v, ku ϵ U y u+v, ku ϵ W para cualquier escalar k. así u+v, ku ϵ UᴖW y por consiguiente UᴖW es un subespacio de V. El resultado del ejemploprecedente se generaliza como sigue.
Teorema:
la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.
Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que elsistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0 ϵ W además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bv ϵ W. Enconsecuencia, según el corolario, hemos demostrado:
Teorema:
el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.
Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.


4.3 Combinación lineal, dependencia lineal:
Todo vector V=(a,b,c) en se puedeescribir en la forma
V= ai + bj + ck
En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i,j,k. de manera más general, se tiene la siguiente definición.
Combinación lineal
Sean vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma

Donde son escalares se denomina una combinación lineal de



Ejemplo:
es una combinación lineal de ya que...