Algebra vectores

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTE.
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

PROPIEDADES.
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
Variosvectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo
Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
= (3, 1) y = (2, 3)

Linealmente independientesSUBESPACIO FILA Y COLUMNA DE UNA MATRIZ.
Dada una matriz se llama subespacio de al subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores que conforman las columnas de la matriz . La dimensión de este subespacio coincide con el rango de la matriz . Además, si es una matriz cualquiera, la matriz asociada a la proyección ortogonal sobre el subespacio columna de es .c
Consideremos la matrizdel modelo teórico de regresión, que recoge los valores que el conjunto de los n individuos toman en las k variables explicativas -además de la columna inicial de 1-. El subespacio columna de dicha matriz es el conjunto de todos los vectores que pueden obtenerse como combinación lineal de la columna de unos y los vectores que conforman las columnas de la matriz , es decir, todas las combinacionesde la forma:

Además, la proyección ortogonal de los puntos del espacio sobre este subespacio vectorial tiene como matriz asociada a:

por lo que dado el vector de n componentes que recoge las puntuaciones de los individuos en la variable dependiente -- tendremos que su proyección sobre el espacio columna de es:

Esta proyección coincide con el valor que el modelo de ajuste estima para elvector de valores de la variable dependiente -- ya que:

Hemos comprobado que la estimación que el modelo de ajuste proporciona para el vector de los valores de la variable dependiente -el vector - es precisamente la proyección del vector de los valores observados -el vector - sobre el subespacio vectorial generado por las columnas de la matriz , es decir, por las variables explicativas. En otraspalabras, la estimación para que proporciona el modelo de ajuste es la mejor combinación posible de las variables explicativas en el sentido de que es la combinación que más se aproxima al verdadero valor de .
Lógicamente, la diferencia entre e es el vector de residuos que, por construcción, tiene un módulo que resulta ser mínimo y que, además es ortogonal a todos los vectores del subespaciocolumna de y, en particular, a las columnas de dicha matriz. En efecto, ya que:

El método de los mínimos cuadrados descompone el espacio vectorial en la suma directa de dos subespacios vectoriales:
El espacio columna de la matriz , es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de las variables explicativas y la columna de unos. En este subespacio vectorial, que tienedimensión k+1, el método de los mínimos cuadrados selecciona el vector , que es la proyección de sobre el mencionado subespacio.
A cada matriz A ∈ Kn×m podemos asociarle dos subespacios, denominados, respectivamente, espacios columna y fila. El espacio columna es el subespacio de Kn generado por las columnas de A y se denota Col(A).

En otras palabras Col(A) = gen{A1, . . . ,Am} ⊆ Kn.

En forma...