Algebra Vectorial

Problemario de álgebra Vectorial
Elaboró Ramón Flores Rodríguez México, D.F. 18 junio de 2008

UPIBI –IPN Problemas planteados Independencia Lineal
1. Determine si v1 =(3, -2, 1), v2 = (4, 2, -1) y v3 = (-7, 14, -7) son linealmente dependientes o independientes, en caso de que sean dependientes, encuentre la combinación lineal de v1, v2 y v3. 2. Determine si v1 =(4, -3, 3), v2 = (2, -2, 1) yv3 = (0, 2, 2) son linealmente dependientes o independientes, en caso de que sean dependientes, encuentre la combinación lineal. 3. Determine si el conjunto formado por los vectores v1 = (2, -4, 7), v2 = (4, -5, 6) y v3 = (8, -7, 4) son linealmente dependientes o independientes, en caso de que sean dependientes, encuentre su combinación lineal. 4. Determine si el conjunto formado por los vectoresv1 = (4, -3, 3), v2 = (2, -2, 1) y v3 = (0, 2, 2) son linealmente dependientes o independientes, en caso de que sean dependientes, encuentre su combinación lineal. 5. Sean los vectores u = (-3, 6, 4), v = (-1, 5, 4) y w = (7, 1, 4) en R3. Demuestre que w es una combinación lineal de u y v. 6. Sean los vectores u = (1, 2, 4), v = (2, 3, 5) y w = (-5, -6, -8) en R3. Demuestre que w es unacombinación lineal de u y v.

Eliminación de Gauss-jordan
1. Resuelva mediante eliminación de Gauss-Jordan. 2 x1 + 4 x2 − 5 x3 = 0 6 x1 − 4 x2 + 2 x3 = 4 − 5 x1 + 2 x2 = 4 2. Resuelva mediante la eliminación de Gauss-Jordan. x1 = 11; x2 = 59/2; x3 = 28; ∆ = -8

3 x1 − 2 x2 = 9 6 x1 − 4 x2 + 7 x3 = −8 2 x 2 − 5 x3 = 6 3. Resuelva por eliminación de Gauss-Jordan. 4 x1 + 3 x2 − 5 x3 = 2 − 2 x1 − 2 x2 + 8x3 = −3 x1 = -17/46; x2 = 15/23; x3 = -7/23; ∆ = -46 2 x1 + 4 x2 − 7 x3 = 4 4. Resuelva el sistema por Gauss-Jordan. 3 x1 − 4 x2 + 5 x3 = −2 2 x1 − 6 x2 + 7 x3 = 8 3 x1 − 10 x2 + 4 x3 = −5 5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de eliminación de Gauss-Jordan. − 2 x1 + 3 x2 − 2 x3 = −3 3 x1 − 4 x2 + 5 x3 = 6 − x1 + 7 x2 − 8 x3 = 2 6. Resolver el siguiente sistema deecuaciones, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan. − 2 x 2 + 8 x3 = 6 7 x1 − 4 x2 − 4 x3 = 2 3 x1 − 4 x2 = 2 x1 = 10/13; x2 = 1/13; x3 = 10/13; ∆ = -104 x1 = 83/29; x2 = 35/29; x3 = 13/29; ∆ = 29 x1 = -187/38; x2 = 5/76; x3 = 99/38; ∆ = 76 x1 = -25/21; x2 = -44/7; x3 = -26/7; ∆ = -42

Hallar la longitud de la curva
1.

r ( t ) = 2 t 3 / 2 i + 4tj
2.

desde t = 0 hasta t = 1 desde t = 0hasta t = π / 2

r ( t ) = 2 cos ti + 2 sentj + t 2 k
3. Hallar la longitud de la curva

r ( t ) = ti +

2 3/2 t j 3

desde t = 0 hasta t = 8

4. Hallar la longitud de la curva

⎛1 ⎞ r ( t ) = ⎜ t 3 − t ⎟i + t 2 j ⎝3 ⎠

desde t = 0 hasta t = 2

5. Hallar la longitud de la curva

r ( t ) = a cos ti + asentj + btk

desde t = 0 hasta t = 2 π

6. Hallar la longitud de la curvar ( t ) = ti +

1 2 2t 3 / 2 j + t 2 k 3 2

desde t = 0 hasta t = 2

7. Hallar la longitud de la curva

r ( t ) = ti + Ln (sec t ) j + 3 k

desde t = 0 hasta t =

1 π 4

8. Hallar la longitud de la curva

r ( t ) = arctan( t )i +

1 Ln 1 + t 2 j 2

(

)

desde t = 0 hasta t = 1

Máximos y Mínimos
Hallar los puntos estacionarios y determinar los valores extremoslocales. 1. f(x,y) = 2x – x2 – y2. Hallar los puntos estacionarios y determinar los valores extremos locales. 2. f(x,y) = 2x + 2y – x2 + y2 + 5 Hallar los puntos estacionarios y determinar los valores extremos locales. 3. f(x,y) = x2 + xy + y2 + 3x + 1 Hallar los puntos estacionarios y determinar los valores extremos locales. 4. f(x,y) = x3 – 3x + y Hallar los puntos estacionarios y los valoresextremos. 5. f(x,y) = x2 + xy + y2 – 6x + 2 Hallar los puntos estacionarios y los valores extremos. 6. f(x,y) = x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 10y + 1

Integrales dobles con coordenadas polares
1. En el siguiente problema se da una función f(x,y) y un conjunto Ω. Calcule

∫∫
Ω

f ( x , y )dxdy usando coordenadas polares.

f ( x , y ) = x 2 + y 2 ; Ω es la región del primer cuadrante limitada por la...