Algebra y Trigonometria

CAPÍTULO  10
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

10.1 Introducción.
Casi todas las funciones definidas hasta ahora han sido funciones algebraicas, es decir, funciones definidas mediante operaciones algebraicas básicas sobre variables y constantes. En este capítulo se estudiaran dos nuevos tipos de funciones que son la función exponencial y la función logarítmica.

CAPÍTULO  10
FUNCIONESEXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

10.2 Crecimiento exponencial. La función exponencial.
10.2.1 Consideraciones preliminares. Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así sucesivamente.
Si se supone que inicialmente, en el día cero hay 50 células y se hace una tabla, que tenga encuenta las condiciones anotadas anteriormente, se tendrá:
|[pic] |0 |1 |2 |3 |4 |
|Capital |100.000 |106.000 |112.360 |119.101,6 |126.247,70 |

Después de un año el banco añade intereses de [pic] a los $100.000 iniciales dando un total de $106.000.  Seobserva que [pic].
Durante el segundo año, los  $106.000 ganan  el 6% de interés  y al final del año se tendrá:
[pic]
Continuando de esta manera el capital, que se denotará por [pic], crecerá a [pic] al final del tercer año.
Por tanto, una expresión para el valor del capital depositado, después de t años, viene dada por [pic].
Funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores, sellaman funciones exponenciales y se definen a continuación.
10.2.2 La Función Exponencial. Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:
[pic], [pic], [pic].
Donde [pic] es una constante denominada base y el exponente t es una variable.
El dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos.
Lagráfica de la función exponencial, en el caso de que b>1  es la siguiente:
[pic]
[pic], [pic].
Como puede observarse, la función es creciente y por tanto es una función uno a uno. A medida que el valor de la variable independiente se hace mas negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero nunca llega a ser cero. Se dice ,entonces que la recta  y = 0 es una asíntotahorizontal de la función.
Consideraciones similares se pueden hacer cuando se hace un análisis de  la gráfica de la función  [pic] cuando 0 < b < 1.
La gráfica de la función, en el caso de que  0 < b < 1,  es la siguiente:
[pic]
[pic], [pic].
De las gráficas anteriores se puede notar que la función exponencial, o bien es creciente, o bien es decreciente.
Por tanto esta función es uno a uno ytiene sentido definir su función inversa; esta se definirá en la siguiente sección.
Ejemplo 1.
Grafique [pic] para [pic].
Solución.
Si se  hace una tabla con algunos valores de t en ese intervalo, se tendrá:_
[pic] |-3 |-2 |-1 |0 |1 |2 |3 | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |1 |2 |4 |8 | |Por tanto, su gráfica es:
[pic]
Con frecuencia se utiliza, como base de la función exponencial, el númeroirracional [pic] y se define la función [pic]. En cursos de cálculo, en particular cuando se estudie el concepto de límite, se mostrará que [pic] está dado por la expresión [pic] cuando n se hace arbitrariamente grande.
10.2.3 Declinación exponencial. En el mundo real ocurren fenómenos de decrecimiento exponencial, que pueden ser modelados mediante la función [pic] con [pic] y [pic].
Por ejemplo,algunos elementos radiactivos, como el uranio, se desintegran siguiendo el modelo exponencial citado anteriormente.
En esta sección es importante el concepto de vida media, que se define como el tiempo requerido para que la mitad de una sustancia radioactiva presente en un tiempo inicial se desintegre.
Esta importante propiedad se utiliza para calcular la edad de objetos antiguos como...