algebra

ALGEBRA LINEAL
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación deoperaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc..

VARIABLES LIBRES 

Cuando el número de incógnitas es diferente al número de ecuaciones, trabajamos con variables libres.
Son aquellas que están a la derecha de la primera incógnita.


MATRICES

MATRICES
   
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij  de la forma
 

 
La matriz anterior se denota también por (aij), i  =1,..., m, j =1, ..., n, o simplemente por  (aij).  
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.  
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...  
Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0,5, -2) y sus

 



TIPOS DE MATRICES  
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  
 
Matrices cuadradas  
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n  n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.  
Ejemplo:  Sean las matrices
   
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2respectivamente.  
 
Matriz identidad  
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.  La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.  
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquiermatriz A,  
A· I = I ·A = A.  
 
Matrices triangulares  
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
   
Matrices diagonales  
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas susentradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn  ). Por ejemplo,  
  
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
    diag(3,-1,7)  diag(4,-3)  y  diag(2,6,0,-1).
 

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ 
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  
Así, la traspuesta de
 
En otraspalabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT =  es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  
1.  (A + B)T = AT + BT.
2.  (AT)T = A.
3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4.  (AB)T = BTAT.
 
Matrices simétricas  
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.  
Ejemplo:  
Consideremos lassiguientes matrices:
  
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
 
Matrices ortogonales  
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Seobserva que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 =AT.  
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

 
Matrices normales  
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.  
Ejemplo:

 
 
 
   
Puesto...