Algebra

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Orden de una Matriz.- Una matriz que tiene m=filas y n= columnas se dice que el orden es mxn

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES (PARTE 1)
1) MATRICES IGUALES.-
Dos matrices son iguales si se cumple que m=p ^ n=q
Es decir deben tener el mismo número de filas y columnas y sus componentes deben ser iguales
Ejemplo:


2) MATRIZ CUADRADA.-
Una matriz escuadrada si
Ejemplo:

3) MATRIZ TRANSPUESTA.-
La transpuesta de la matriz; es cambiando filas por columnas


Ejemplo:


4) MATRIZ SIMETRICA.-
Sea una matriz cuadrada


Ejemplo:



5) MATRIZ ANTISIMETRICA.-
A es anti simétrica siempre que la diagonal sea cero

Ejemplo:



6) MATRIZ NULA .-

Ejemplo:


7) MATRIZ IDENTIDAD

Ejemplo:8) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Ejemplo:

9) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOIR

Ejemplo:


10) MATRIZ DIAGONAL


Ejemplo:


11) MATRIZ ESCALAR


Ejemplo:


OPERACIONES CON MATRICES
Consideramos las siguientes operaciones:
1) Suma
2) Resta
3) Producto por escalar
4) Producto matricial
1) Suma de Matrices:


Para sumar dos matrices deben tener igual ordeny se suma componente a componente

Ejemplo:





2) Resta de Matrices (-A):

Ejemplo:


A – B = A + ( - B )


3) Producto por escalar :

Ejemplo:


4) Producto matricial :


Ejemplo:




PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

DEFINICIONES:
• Matriz real de orden mxn
Una matriz real mxn es una expresión de la forma
• Elconjunto Mat
Es el conjunto de todas las matrices reales de mxn

1) PROPIEDADES DE LA SUMA:

a)
b)
c)
d)
e)

2) PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALAR:

a)
b)
c)
d)
e)

3) PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL:

f)
g)
h)
i)

DEMOSTRACION DE LA PROPIEDAD ALGUNAS PROPIEDADES
1) PROPIEDAD ASOCIATIVA DE MATRICES2)













3) Propiedad del producto Matricial

Método de Refutación de contra ejemplo:


Ejemplo:





12) MATRIZ MILPOTENTE

Ejemplo:






A es mil potente de orden 3

13) MATRIZ IDEMPOTENTE:

Ejemplo:



14) MATRIZ INVOLUTIVA:

Ejemplos:







15) MATRIZ ORTOGONAL:

Ejemplo:16) MATRIZ REAL:

Ejemplo:


17) MATRIZ COMPLEJA:

Ejemplo:


18) MATRIZ CONJUGADA:

Ejemplo:


19) MATRIZ HERMITÍCA :

Ejemplo:




20) MATRIZ UNITARIA :

Ejemplo:





21) MATRIZ INVERSA :

In




NOTAS:
•
•

INVERSA POR OPERACIONES ELEMENTALES
TEOREMA:

Si A es invertibleSUBMATRICES: Se puede particionar y dividir matrices en submatrices con la finalidad de realizar las operaciones entre matrices cuando estas son muy grandes
22) MATRIZ ESCALONADA :

• El primer elemento en cada fila, de izquierda a derecha, diferente de cero es igual a 1
• El número de ceros iniciales en cada fila (de izquierda a derecha) aumenta al pasar de una fila a otra
• Si hay filascompletas de ceros en la matriz estas se encuentran en la parte inferior
Ejemplo:


23) MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA :

• Es escalonada
• Los 1 iniciales de cada fila son los únicos elementos diferente de cero en su columna
Ejemplo:


2. DETERMINANTES

El terminante de una matriz A es una escala, notado det (A) O [A] , y definido de la siguiente manera:


det : Mnxn - Ktal que:
A –det (A)

(1) Si A = - =a11a22-a12


(2) Si A = = - +

= ( ) - ( ) + ( )

= ( ) – ( )

En este caso , se dice que se desarrolla el determinante de A por menores sobre la fila uno.

(3) Sea A = ( ) El desarrollo del determinante por menores, por la r-esima fila de A se define de la siguiente manera:...