Algebra

Universidad de La Frontera ´ Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administracion ıa ´ Departamento de Matematica y Estad´ ıstica

´ Gu´ de Ejercicios Algebra Lineal (IME-052) ıa Ingenier´ Civiles ıas
Profesor: C´sar Burgue˜o. e n

1.

Sistemas de Ecuaciones

2. Estudie si existen, a, b, c ∈ R tales que la ecuaci´n x3 = a + bx + cx2 se verifique o para todo x ∈ R. √ 3. Demuestre que no hayn´meros reales a y b tales que x = a + bx se verifique para u todo x ∈ R. 4. En C, estudie el sistema: (1 + i)x + iy = 1 (1 − i)x + y + iz = i 5. Estudie las siguientes familias de sistemas para los diferentes valores de k ∈ R.   x1 + 2x2 + kx3 = 1  kx1 + x2 + x3 = 1  a) 2x1 + kx2 + 8x3 = 8 b) x1 + kx2 + x3 = 1   kx1 + x2 + x3 = 1 x1 + x2 + kx3 = 1 ´ Gu´ de Ejercicios Algebra Lineal IME-052, UFROıa 1

1. Estudie los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:  2x1 + x2 + x4 = 2  a) 3x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 4  3x1 − 3x3 − 2x4 = 3  2x + y + w = 2  b) 3x + 3y + 3z + 5w = 3  3x − 3z − 2w = 3  2x + y + z = 1  c) 4x + 2y + 3z = 1  −2x − y + z = 2  2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + x5 + 4x6 = 1  x2 + x3 + 2x4 + 2x5 = −1 d)  2x1 + x2 + 3x3 + x4 + 5x6 = 1

2.

Espacios vectoriales

1.Verifique que R es un espacio vectorial sobre Q. 2. Demuestre que: √ √ a) Q( 2) = {a + b 2; a, b ∈ Q} √ √ b) A = {a + b 2 + c 3; a, b, c ∈ Q} son Q-sub espacios vectoriales de R. 3. Demuestre que: a) Z3 (α) = {a + bα; a, b ∈ Z3 , α2 = 2}.

c) B = {a + bΠ + cΠ2 + dΠ3 ; a, b, c, d ∈ Q}

b) C = {a + be + ce2 ; a, b, c ∈ Q}. son Z3 -espacios vectoriales.

4. Si V y W son espacios vectoriales sobreR, demuestre que V ⊕ W con las operaciones (v, w) + (v ′ , w′ ) = (v + v ′ , w + w′ ) y α • (v, w) = (αv, αw) es tambi´n un espacio e vectorial sobre R 5. Demuestre que los siguientes conjuntos son espacios vectoriales: a) M2×2 (R) = a b c d + a b ; a, b, c, d ∈ R con las operaciones siguientes: c d αa αb a b a + a′ b + b ′ a′ b ′ = y α⊙ = ′ ′ ′ ′ αc αd c d c+c d+d c d a 0 0 b ; a, b ∈ R

b)D2×2 (R) =

6. Estudie si los siguientes conjuntos con las operaciones suma y producto por escalar que se indican son R-espacio vectorial y vea que propiedades se verifican: a) V1 = {(x, y) ∈ R2 }, con (x, y) + (x1 + y1 ) = (x + x1 , y + y1 ) y α(x, y) = (αx, y)

b) V2 = R3 con las operaciones: v ⊗ w = v − w, α ⊙ v = −αv d) V4 = R2 con la suma habitual y α ∗ (x, y) = (α2 x, α2 y)

c) V3 = {(x, y)∈ R2 }; (x, y) ⊳ (x1 , y1 ) = (x + x1 , 0); α ⋄ (x, y) = (αx, 0)

7. Estudie si los siguientes subconjuntos de R3 son sub-espacios vectoriales reales (con las mismas operaciones que tiene R3 ) a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}

b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0, y = 3}

c) V3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 3λ, y = 2λ, z = λ, λ ∈ R3 } ´ Gu´ de Ejercicios Algebra Lineal IME-052, UFRO ıa 2

d) V3 ={(x, y, z) ∈ R3 ; x + 5y = 0}

e) V3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; Ax + By + Cz = 0 con A, B, C fijos en R} a) {(x, y, x, y) ∈ R4 }

8. Estudie cual de los siguientes subconjuntos son un sub-espacio vectorial de R4 : b) {(x, 2x, y, x + y) ∈ R4 } d) {(x, y, x + y, 1) ∈ R4 }

c) {(x, y, z, t) ∈ R4 ; 2y = 3t} e) {(x, λ0 , z, t) ∈ R4 ; λ0 fijo en R}

9. Estudie si los siguientes conjuntos con lasoperaciones habituales en el espacio de las funciones reales R-subespacios vectoriales de ´l: e a) V1 = {f : [0, 1] → R; 2f (0) = f (1)}

b) V2 = {f : R → R; f (x) = f (1 − x)}

d) V4 = {f : R → R; f continua, f (1) = f (0) + 1} e) V5 = {f : R → R; f (−x) = f (x)} a) {(x, y, z); x + 2y − z = 0} 10. Determine cuales de los subconjuntos siguientes son subespacios de R3 :

c) V3 = {f : R → R; fcontinua, f ≥ 0}

b) {(x, y, z); x + 2y − z = 1} d) {(x, y, z); x ≥ 0}

c) {(x, y, z); x2 + y 2 − z 2 = 0} e) {(x, y, z); x2 + y 2 + z 2 > 0}

f ) Enuncie la regla general

11. Sea S un sub-espacio de V . Demuestre que x y ⇔ x − y ∈ S, define una relaci´n de o equivalencia en V . Encuentre la clase de 0. 12. Sea V = M2×2 (R). Estudie si los siguientes subconjuntos son sub-espacios vectoriales...