ALGEBRA

Universidad Nacional de Asunción

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Educación a Distancia

Álgebra Elemental
Tarea 5: Funciones cuadrática
Ejercicios
1. Buscar losvalores de k para que las funciones
• f : R −→ R , definida por f (x) = ax2 + 2kx − a , con a ∈ R+ tenga una sola raíz real
mayor a cero.
Para que la función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c tenga unasola raíz real, debe ocurrir
que ∆ = b2 − 4ac = 0, así, en este caso:
0 = ∆ = (2k)2 − 4a (−a) = 4 (k 2 + a2 ) =⇒ 0 = k 2 + a2 =⇒ 0 = k = a,
pero, como la función es cuadrática, debe ser a = 0.
Así,concluimos que para ningún valor de k se puede dar que la función tenga una sola
raíz.
• f : R −→ R , definida por f (x) = kx2 + (k + 1) x − k , tenga dos raíces reales positivas.
Para que lafunción cuadrática f (x) = ax2 + bx + c tenga dos raíces reales, debe ocurrir
que ∆ = b2 − 4ac > 0, así, en este caso:
0 < ∆ = (k + 1)2 − 4k (−k) = k 2 + 2k + 1 + 4k 2 = 5k 2 + 2k + 1,
pero 0 < 5k 2 + 2k+ 1, para cualquier k ∈ R.
Así se concluye que para cualquier valor de k , siempre tendremos raíces reales distintas.
Las raíces r√y r2 de una función cuadrática se pueden escribir como:
1
√

−b− b2 − 4ac
b2 − 4ac
y r2 =
, pero nos pide que r1 > 0 y r2 > 0, en2a
2a
tonces: r1 r2 > 0.
c
−k
Recordemos que r1 r2 = =
= −1 < 0, por lo que, para cualquier valor de k , no se
a
k
cumpleque r1 r2 > 0.
r1 =

−b +

Por tanto, no tenemos solución.
2

3. Dadas las funciones, hallar sus vértices, raíces y expresarlas como y − k = p (x − h) .
• f : Z −→ Z , con f (n) = 36n2 − 60n+ 49 .
Notemos que

f (n) = 36n2 − 60n + 49 = (6n)2 − 10 (6n) + 25 + 24 = (6n − 5)2 + 24 = 36 n −
y = 36 n −

5
6

2

+ 24 =⇒ y − 24 = 36 n −

5
6

Por lo que su vértice se tendrá enel punto V =

5
6

2

+ 24

2

5
, 24 , como la primera coordenada no
6

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