algebra

Sergio Yansen Núñez
En el cálculo de los límtes se utilizarán los siguientes resultados:
I)

sinx
=1
x

lim
x→0

II)

sinax
= 1 , siendo a una constante real distinta de cero.
ax

lim
x→0

III)

lim

sinx − a
=1
x−a

IV)

lim

sinkx − a
= 1, siendo k una constante real distinta de cero.
kx − a

x→a

x→a

Cálcule, en caso de existir, lossiguientes límites:
1.

tan3x
x

lim
x→0

2.

sin2x + sin3x
sin4x + sin5x

lim
x→0

3.

x + sin 2 2x
x + sin 2 3x

lim
x→0

4.

1 − cosax
, siendo a una constante real distinta de cero.
x

lim
x→0

5.

1 − cosax
, siendo a una constante real distinta de cero.
x2

lim
x→0

sinx − sina
x−a

6.

lim

7.

sinx
lim x − π
x→π

8.lim

x→a

sin2x − 1
4x 2 − 1

x→ 1
2

9.

x→

10.

π
2

lim
x→

11.

cosx
2x − π

lim

π
4

lim
x→

π
4

tan4x
4x − π
sin2x − 1
4x − π

Límites con funciones trigonométricas

Sergio Yansen Núñez

12.

lim
x→0

13.

lim
x→

14.

π
2

lim
x→0

1 − cos5x
x
sinx − 1
cos2x + 1
1 + sin2x − 1 − sin3x
x

Límitescon funciones trigonométricas

Sergio Yansen Núñez
Resolución:

1.

sin3x
tan3x
cos3x
sin3x
lim
=lim
=lim
x
x
x→0
x→0
x→0 x cos3x
=lim
x→0

sin3x
sin3x
1
1
⋅
=lim 3 ⋅
⋅
x
3x
cos3x x→0
cos3x
límite II

= 3⋅1⋅ 1 = 3
1

2.

sin2x
sin3x
1
+
sin2x + sin3x
sin2x + sin3x
x =lim
x
x
lim
=lim
⋅
1
sin4x
sin5x
x→0 sin4x+ sin5x
x→0 sin4x + sin5x
x→0
+
x
x
x
2⋅
=lim
x→0

sin2x
sin3x
+3⋅
2x
3x

sin4x
sin5x
4⋅
+5⋅
5x
4x

= 2⋅1+3⋅1 = 5
4⋅1+5⋅1
9

límite II

3.

sin 2 2x
1
x + sin 2 2x
x + sin 2 2x
x
x =lim 1 +
lim
=lim
⋅
2
2
2
1
sin 3x
x→0 x + sin 3x
x→0 x + sin 3x
x→0
1+
x
x
sin2x
1+2⋅
⋅ sin2x
sin2x
2x
1+
⋅ sin2x
x
=lim=lim
= 1+2⋅1⋅0 = 1
1+3⋅1⋅0
sin3x
sin3x
x→0 1 +
⋅ sin3x x→0 1 + 3 ⋅
⋅ sin3x
x
3x
límite II

Límites con funciones trigonométricas

Sergio Yansen Núñez
1 − cosax
1 − cosax 1 + cosax
=lim
⋅
x
x
1 + cosax
x→0

lim

4.

x→0

=lim

1 − cos 2 ax
sin 2 ax
1
1
⋅
=lim
⋅
x
x
1 + cosax x→0
1 + cosax

=lim

sinax
sinax
sinax
sinax⋅
=lim a ⋅ ax
⋅
= a⋅1⋅ 0 = 0
x
1+1
1 + cosax
1 + cosax
x→0

x→0

x→0

límite II

En algunos textos, aparece lim

OJO:

x→0

5.

lim
x→0

=lim
x→0

1 − cosax
1 − cosax 1 + cosax
1 − cos 2 ax
1
=lim
⋅
=lim
⋅
2
2
1 + cosax
1 + cosax x→0
x2
x
x
x→0
sin 2 ax
sinax sinax
1
1
⋅
=lim
⋅
⋅
x
x
2
1 + cosax x→0
1 + cosax
x=lim a ⋅
x→0

1 − cosax
= 0 como un límite fundamental.
x

2
sinax
sinax
1
⋅a ⋅ ax
⋅
= a⋅1⋅a⋅1⋅ 1 = a
ax
2
1+1
1 + cosax
límite II

límite II

Límites con funciones trigonométricas

Sergio Yansen Núñez
6.

lim
x→a

sinx − sina
x−a

Forma 1:
2 sin x − a cos x + a
sinx − sina
2
2
lim
=lim
x−a
x−a
x→a
x→a

sin x − a
2
=lim
x−a
x→a2

⋅ cos x + a
2

límite IV

= 1. cos a + a
2

= cosa

Forma 2:
lim
x→a

sinx − sina
x−a
sea u = x − a

Realizando un cambio de variable:
cuando
lim
x→a

x→a

entonces

u→a

sinu cosa + cosu sina − sina
sinx − sina
sinu + a − sina
=lim
=lim
u
u
x−a
u→0

u→0

=lim

sinu cosa
cosu sina − sina
+
u
u

=lim

cosasinu
cosu − 1
+ sina
u
u

=lim

cosa

sinu
1 − cosu
− sina
u
u

lim

sinu
=1
u

u→0

u→0

u→0

u→0

lim
u→0

y

1 − cosu
1 − cosax
= 0 (en la actividad 3 se obtuvo lim
= 0)
u
x
x→0

Por lo tanto,
lim
u→0

cosa

sinu
1 − cosu
− sina
u
u

Límites con funciones trigonométricas

= cosa ⋅ 1 − sina ⋅ 0 = cosa...