algebra

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Algebra Lineal

Jorge Luis Arocha
versi´n compilada el
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30 de enero de 2013

Jorge Luis Arocha P´rez
e
Instituto de Matem´ticas
a
Universidad Nacional Aut´noma de M´xico
o
e
M´xico D.F. 04510
e

BibTeX:
@textbook{ArochaLA
AUTHOR = {Arocha, Jorge L.}
TITLE = {\’Algebra Lineal}
YEAR = {2011}
NOTE = {Available at combinatoria.matem.unam.mx}
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Mathematics SubjectClassification 2000: 00—01, 12—01, 15—01

c
°2011 Jorge Luis Arocha P´rez
e
Permitida la reproducci´n para uso individual y no comercial.
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Todos los dem´s derechos est´n reservados.
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Introducci´n
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Este libro lo escrib´ como texto b´sico para el curso de “Algebra Lineal” para estuı
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diantes de Licenciatura que he impartido por muchos a˜os en la Facultad de Ciencias
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de laUniversidad Nacional Aut´noma de M´xico.
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Se presupone que los estudiantes hayan cursado ya las materias de “Algebra superior” y “Geometr´ Anal´
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ıtica” o sea tengan ciertos conocimientos sobre matrices,
vectores, polinomios, n´meros complejos, etc.
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El objetivo es desarrollar el ´lgebra lineal sobre campos arbitrarios pero se hace
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´nfasis en los reales, los complejos y los residuosm´dulo un n´mero primo. Despu´s de
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una introducci´n corta a la teor´ de campos se estudian los espacios vectoriales, las
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transformaciones lineales, los determinantes y finalmente los teoremas de descomposici´n de operadores.
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Por ahora, este libro no contiene pr´cticamente nada de transformaciones bilineaa
les, productos escalares, espacios duales, ortogonalidad, tensoresetc. En mis planes
est´ escribir una segunda parte o aumentar este libro con cap´
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ıtulos sobre estos temas.
El material que comprende este libro es demasiado para un semestre y usualmente yo imparto en un semestre de los cap´
ıtulos I–IV aquellas secciones que no est´n
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marcadas como avanzadas. Un segundo semestre podr´ comenzar con las secciones de
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polinomios sobre campos,continuar con la descomposici´n de operadores lineales y tero
minar con aquellos temas que ya se˜al´, faltan aqu´ Otras secciones las escrib´ porque
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me parecieron un buen material de lectura complementaria para los alumnos curiosos.
Este libro es inusualmente colorido y visualmente agresivo. La raz´n de esto es que
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cuando estaba en el papel de alumno yo prefer´ estudiar por las libretasde notas de
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mis compa˜eras de clase. Se me hac´ muy f´cil memorizar la imagen completa de una
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p´gina llena de rayas, flores, corazones etc. y dentro de todo esto, las matem´ticas. La
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idea es que cada p´gina luzca visualmente diferente. He tratado dentro de lo posible,
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lograr esto.
Los caracteres de matem´ticas est´n en un color diferente. El texto y las secciones
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aavanzadas est´n marcados con un birrete. Uso unos lentes para marcar aquello que
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el lector no debe dejar pasar. Errores comunes que cometen los que no est´n familiaa
rizados con el material est´n marcados con calaveras. Los teoremas est´n resaltados
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visualmente, etc.
Se incluyen m´s de un centenar de ejercicios. Los ejercicios m´s notables consisten
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en material adicional queun estudiante de matem´ticas o f´
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ısica debe conocer tarde o
temprano. Las soluciones de los ejercicios no rutinarios se dan al final del libro.
He compilado un glosario de t´rminos que es a la vez un ´
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ındice del libro y un
diccionario de los conceptos introducidos y/o usados.
Finalmente, incluyo una gu´ de estudio. De esta gu´ yo escojo las preguntas para
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los ex´menes. Estorepresenta una ventaja enorme para los estudiantes ya que una
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de las dificultades m´s importantes de ser estudiante es comprender que es lo que se
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espera de ellos.
Jorge L. Arocha
M´xico D.F. Diciembre de 2010
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IV

Cap´
ıtulo 1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Operaciones...