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Series matemática‬

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, ymediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serieinfinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Definiciones
Sumas parciales
Para cualquier sucesión denúmeros racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:
.
La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :
.
Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.
Convergencia
Por definición, laserie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como
.
Ejemplos
Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

La serie armónicaes la serie

La serie armónica es divergente.
Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
, con = .
Convergencia de series
Una serie  ∑an  se dice que es convergente(o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de lasseries infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie
.
Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Serie finitas
Sucesión es una secuenciaordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.
Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una sucesión es definida oestablecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16 … La regla de empezar con 0 y 1 y calcular...