Algebra

ALGEBRA
Versi´n Preliminar o Renato A. Lewin

Indice
CAPITULO 1. Introducci´n a la Teor´ de N´meros o ıa u 1. Los N´meros Naturales y los N´meros Enteros u u 2. Divisibilidad 3. Congruencias 4. Clases Residuales CAPITULO 2. Polinomios 1. Polinomios sobre los Racionales y los Enteros 2. Divisibilidad 3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio de Eisenstein 4. Teorema deFactorizaci´n Unica o 5. Irreducibilidad sobre los reales y los complejos CAPITULO 3. Anillos 1. Definiciones y Ejemplos 2. Subanillos e Ideales 3. Homomorfismos e Isomorfismos CAPITULO 4. Cuerpos 1. Definiciones y Ejemplos 2. Cuerpo de Cuocientes 3. Caracter´ ıstica de un Cuerpo 4. Extensiones Simples de Q 5. Obtenci´n de Raices de Polinomios sobre Q o CAPITULO 5. Grupos 1. Definiciones y Ejemplos 2.Permutaciones, Isometr´ Simetr´ ıas, ıas. 3. Subgrupos y el Teorema de Lagrange 4. Grupos C´ ıclicos 5. Subgrupos Normales 6. Homomorfismos Bibliograf´ ıa
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5 5 7 14 21 27 27 28 32 36 39 43 43 48 55 61 61 62 65 67 71 75 75 81 98 104 105 107 113

CAPITULO 1

Introducci´n a la Teor´ de N´ meros o ıa u
La Teor´ de N´meros, al menos originalmente, es la rama de la matem´tica ıa u a que estudia laspropiedades de los n´meros naturales 1, 2, 3, . . . . A poco andar uno u descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´meros, ni siquiera al u conjunto de los n´meros enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . , sino que muchas veces u se debe recurrir a otros conjuntos de n´meros, algebraicos, reales, complejos, etc. u para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (yviceversa). Algunos problemas cl´sicos de la Teor´ de N´meros como el llamado ultimo a ıa u ´ teorema de Fermat o el de la distribuci´n de los n´meros primos, (ver m´s adelante) o u a han dado origen a grandes desarrollos de la matem´tica. Por ejemplo, al primero de a estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´micos, al segundo todo o el desarrollo de la funci´n zeta de Riemann. Esas´ que en la Teor´ de N´meros o ı ıa u moderna se emplean sofisticadas te´nicas de an´lisis matem´tico y de teor´ de c a a ıa probabilidades. Estudiaremos aqu´ tan s´lo los rudimentos de esta disciplina y ı o haremos algunos alcances acerca de su relaci´n con la llamada ´lgebra abstracta. o a

1. Los N´ meros Naturales y los N´ meros Enteros u u Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que ellector est´ familiarizado con a los conjuntos Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . } y N = {1, 2, 3, . . . }, de los n´meros enteros y de los n´meros naturales (o enteros positivos), respecu u tivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma y multiplicaci´n as´ como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo o ı tanto, no daremos una definici´n axiom´ticade ellas. o a La propiedad m´s importante de los n´meros naturales es el siguiente principio: a u
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PRINCIPIO DE BUEN ORDEN Todo conjunto no vac´ de n´meros naturales tiene un menor ıo u elemento.

Decimos que N es un conjunto Bien Ordenado. Intuitivamente, este sencillo principio nos dice que siempre puedo encontrar el m´s peque˜o n´mero natural a n u tal que ......, donde la l´ ınea depuntos puede ser llenada por cualquier propiedad (siempre que exista al menos un n´mero natural que verifique dicha propiedad). u Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´mero natural u n tiene un (´nico) sucesor, o sea, el n´mero que le sigue en el orden natural. (Esto u u ya lo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el conjunto no vac´ de losn´meros naturales estrictamente mayores que n y aplicar ıo u el Principio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n. Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ A cuya ıo existencia garantiza el Principio es unico ya que si hubiera dos, digamos a y b, ´ entonces a ≤ b, ya que a es el menor elemento de A y b ∈ A. Similarmente, b ≤ a, por lo tanto a =...