Algebra

Unidad Temática 4

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real es un conjunto no vacio de objetos, llamados vectores, en el están definidas dos operaciones llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los 10 axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación:

Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores y en y todos los escalares y

Axiomasde un Espacio Vectorial












Mediante estos axiomas, es posible demostrar que el vector cero del axioma 4 es único, y que el vector , llamado el negativo de, del axioma 5 es único para cada en .

Ejemplo 1:
Un espacio vectorial trivial. Sea es decir, consiste sólo en el número 0. Como: , se ve que es un espacio vectorial.


Ejemplo 2:
Un conjunto que no es espaciovectorial. Sea Es decir,consiste sólo en el número 1. Éste no es un espacio vectorial ya que viola el axioma1. Para ver esto, basta con observar que También viola otros axiomas, sin embargo, con sólo demostrar que viola al menos uno, de los diez axiomas; queda probado queno es un espacio vectorial.

Ejemplo 3:
Sea el conjunto de todas las flechas (segmentos de líneas dirigidos) presentes en elespacio tridimensional; dos de estas flechas se consideran iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. La suma se define por medio de la regla del paralelogramo y para cada en se define como la flecha cuya longitud es veces la longitud de , y apunta en la misma dirección de si y en la dirección opuesta es caso contrario.

En la siguiente figura vemos un ejemplo deespacio vectorial.



La definición de es geométrica, y utiliza conceptos de longitud y dirección.
No intervienen coordenadas .
Una flecha de longitud cero es un solo punto y representa el vector cero.
El negativo de es (-1).
Así, los axiomas 1, 4, 5, 6 y 10 son evidentes; los demás verifican geométricamente.

Por ejemplo las siguientes figuras:









Sea un cuerpoarbitrario. La notación se usa frecuentemente para designar el conjunto de todas las de elementos de . Aquí se ve como un espacio sobre , en el que la vectorial y el producto por un escalar de definen según:




y el opuesto de un vector se define por.








La notación o simplemente , se utilizará para designar el conjuntos de todas las matrices sobre un cuerpo arbitrario.
es unespacio vectorial sobre con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un escalar.




Denotemos por el conjunto de todos los polinomios



Con coeficientes en algún cuerpo es un espacio vectorial sobre con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un polinomio por una constante.









SUBESPACIO
Un subespacio de unespacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:
a. El vector cero de está en
b. es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada y en , la suma está en .
c. es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada en y cada escalar , el vector está en .

Las propiedades (a), (b) y (c) garantizan que un subespacio de es en si mismo unespacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en .
Para verificar esto, observe que las propiedades (a), (b) y (c) son los axiomas 1, 4 y 6.
Los axiomas 2,3 y del 7 al 10 son verdaderos de manera automática en porque se aplican a todos los elementos de , incluidos aquellos que están en . El axioma 5 también es verdadero en , porque si está en , entonces (-1) está ensegún (c).
Así, todo subespacio es un espacio vectorial. De manera reciproca, todo espacio vectorial es un subespacio (de sí mismo o posiblemente de espacios mayores).
El término subespacio es usado cuando se consideran por lo menos dos espacios, con uno dentro de otro y la frase subespacio de como el espacio más grande.
Ejemplos:
El conjunto que consta de únicamente el vector cero en un...