ALGEBRA

ÍNDICE

Introducción
Estructura Algebraicas
Conceptos de estructuras algebraicas
Principios y teoremas de las estructuras algebraicas
Conclusión
Bibliografía























INTRODUCCION

En esta unidad se introducen los conceptos básicos del álgebra abstracta: operaciones binarias y estructuras algebraicas y sus propiedades, para poder interpretarnumerosas situaciones de la vida cotidiana. A manera de repaso se revisarán algunas simbologías de la teoría de conjuntos y sus operaciones.
Además, se definirá (aunque en forma intuitiva) el concepto de estructura algebraica y se mostrarán algunas de las más importantes estructuras de la matemática, las que en particular, son de frecuente aplicación en la informática teórica y aplicada como sustentoformal de sus investigaciones y progresos.































Estructura algebraica.
En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedadesmatemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:
Estructura
Ley interna
Asociatividad
Neutro
Inverso
Conmutatividad
Magma





Semigrupo





Monoide





Monoide abeliano





GrupoGrupo abeliano






Estructura (A,+,·)
(A,+)
(A,·)
Semianillo
Monoide abeliano
Monoide
Anillo
Grupo abeliano
Semigrupo
Cuerpo
Grupo abeliano
Grupo abeliano

Estructuras Algebraicas
Operación Binaria.
Una operación binaria: en un conjunto, es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto, algún elemento del conjunto. Si s es un conjunto novacío y es una función. Entonces es llamado una operación binaria sobre s, si y sólo si: S x S S. En otras palabras dado un conjunto no vacío S y el producto cartesiano de S X S, es una función de modo que a cada par ordenado (a, b) le hace corresponder un único elemento de S simbolizado por a*b. Toda operación interna en un conjunto se constituye en ley de composición en dicho conjunto. Por locual a las operaciones internas también se les llama ley de composición. Por ejemplo en el conjunto de los naturales N; la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a, b) se le asigna otro valor, el cual también pertenece a los naturales N.
Ejemplo: Si fuera la operación *(4,6) 4 * 6 = 10 lo mismo si se dijera *(6,8) 6* 8= 14.
Ejemplo: Sea el conjunto
S = {1, 2,3} y laoperación * definida como la suma de a mas b menos 1*1 2 31 1232 2333 Hay algunos espacios vacío porque el resultado es un elemento que no pertenece al conjunto dado, por lo que se concluye que * no es una operación binaria en S. En base al concepto: Dado un conjunto no vacío S y el producto cartesiano de S x S, * es una función de modo que a cada par ordenado (a,b) le hace corresponder un únicoelemento de simbolizado por a*b.
Propiedades de las Operaciones Binarias.
Cerrada.
Si * es una operación binaria sobre S y A es subconjunto de S. Entonces el subconjunto A es cerrado con respecto a la operación binaria *, si y sólo si, para todo x, y que pertenece a A, x * y pertenece a A. *: S x S = S.
Si * es una operación binaria sobre S y A ⊆ S
Entonces A es cerrado con respecto a * ⇔
∀ x, y∈ A, x * y ∈ A Tomando en cuenta que el conjunto de los números enteros Z es un subconjunto de los números reales R.
Por ejemplo en el conjunto de los números enteros
Z; la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b) se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números enteros Z.
Ejemplo: Si fuera la operación *(2,4) 2 * 4 = 6 lo mismo si se...