Algebra

Introducción
Indiscutiblemente uno de los conceptos más importantes en todas las ramas de las matemáticas es el concepto de función, en esta capitulo analizaremos un tipo especial de función tal que manda elementos de un espacio vectorial a otro, pero es preserve las operaciones de linealidad es decir; la suma y producto por un escala, a este tipo especial de función se le llama transformaciónlineal (por lo tanto una transformación lineal es función pero no todas las funciones de un espacio vectorial a otro son transformaciones lineales).
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar porescalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y secumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, susdiferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
COMO SE DETERMINA EL NUCLEO Y LA IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Dados dos espacios vectoriales, V y V 0, al conjunto de los homomorfismos (aplicaciones lineales) de V en V 0 lo denotaremos Hom (V, V 0). Por tanto, a partir de ahora en lugar de decir: “sea f: V ! V 0 una aplicación lineal”,diremos: “sea f 2 Hom (V, V 0)”.
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Imagen y núcleo

Sea f 2 Hom (V, V 0). Se llama imagen de f, denotada por Im (f) o por f (V), al siguiente subconjunto de V 0: Im (f) = {f (v); v 2 V}.

Se llama núcleo de f, denotado por ker (f) o por f−1 (0), al siguiente subconjunto de V: ker (f) = {v 2 V | f(v) = 0}.
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Proposición
Dada f 2 Hom (V, V 0), los conjuntos Im (f) y ker(f) son variedades
Lineales de V 0 y V, respectivamente.
Demostración
Dados u, v 2 ker (f) y _ 2 K, se tiene f (u) = 0 y f(v) = 0.

Entonces
f(u + v) = f(u) + f(v) = 0 + 0 = 0., luego u + v 2 ker(f), y además f(_v) =_ f(v) =_0 = 0, por lo que _v 2 ker(f). Portanto ker (f) es una variedad lineal de V .

Por otra parte, dados u0, v0 2 Im (f) y _ 2 K, existen u, v 2 V tales que f(u) = u0 y f(v) = v0. Entonces se tiene u0 + v0 = f(u) + f(v) = f(u + v), luego u0 + v0 2 Im(f), y además _v0 = _f(v) = f(_v), luego _v0 2 Im(f). Por tanto Im (f) es una variedad lineal de V 0.

Proposición
4.5 Si G = {u1, . . . , un} es un sistema de generadores de V ,entonces
f(G) = {f(u1), . . . , f(un)} es un sistema de generadores de Im(f).

Demostración Dado un vector v0 2 Im (f), existe un vector v 2 V tal que f(v) = v0.
Como G es un sistema de generadores de V, existen unos escalares _1, . . . , _n 2 K tales que v = _1u1 + · · · + _nun.

Aplicando f as ambos lados de esta ecuación, se tiene f (v) =f(_1u1 + · · · + _nun), es decir, v0 = _1f(u1) + · ·· + _nf (un). Por tanto f (G) es sistema de generadores de Im (f).

Sea T: V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.

Ejemplo:
Indique cuales opciones contienen un vector en el núcleo de la
transformación de R3 en R3 definida como:

Dentro de las opciones

Solución:
Antes de pasar a la velicación, es...