Algebra

MATEMÁTICA
MÓDULO 3
Eje temático: Álgebra y Funciones
1. RAÍCES CUADRADAS Y CÚBICAS
Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta: si el
área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea 15.
Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemosafirmar que:

a = b ⇒ b2 = a

Si a es un número positivo entonces b es positivo; por lo tanto
como erróneamente se cree. Por otro lado la igualdad:
si x>0, ya que si tenemos

2

(−3)

9 = 3 y no ±3

2

x = x se cumple solo

esto no es igual a

contradictorio con lo anterior; por lo tanto, la propiedad es:

–3 ya que sería

x2 = x (para

cualquier valor real de x).
Si enla raíz:

a , a es negativo, entonces la raíz no es un número real.

Si la raíz es cúbica, tenemos que:

3

a = b ⇒ b3 = a

En este caso, si a es negativo b resulta ser negativo y si a es positivo, b
también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.
En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente
fraccionario:
Definición:
n

mam = a n

n se denomina el índice de la raíz, y como vimos anteriormente, cuando no
aparece se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).
La definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior, es
decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las
de índice impar están definidas para todo número real.

1

Debido a que las raícespueden convertirse a potencias de exponente
fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos
en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades
de raíces.
1.1. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1. Multiplicación de raíces de igual índice
n

a ⋅ nb =

n

ab

2. División de raíces de igual índice
n
n

a
b

=

n

a
b

3. Raíz deraíz
nm

a=

nm

a

4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice
n

an = a

5. Propiedad de amplificación
n

ar =

nm

arm

6. Ingreso de un factor dentro de una raíz

an b =

n

anb (con la restricción que a>0 si n es par)

2

Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de
que las raíces estén definidas en los númerosreales.
Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades para
que veas su analogía con las propiedades de las potencias.
Demostración de (1):
1

n

1

1

a ⋅ n b = an ⋅ bn = ( ab )n =

n

ab

Demostración de (5):
n

r

rm

ar = an = anm =

nm

arm

Demostración de (6):

an b =

n

an ⋅ n b =

n

anb

1.2. OPERATORIA CON RAÍCES
Adición ysustracción de raíces semejantes
Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por
ejemplo 2 5 y -7 5 son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

2 5 - 7 5 = −5 5
En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe
descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces
semejantes.
Ejemplo:

18 − 50 + 72 =
Descomponiendo lascantidades subradicales en forma conveniente:

18 − 50 + 72 = 9 ⋅ 2 − 25 ⋅ 2 + 36 ⋅ 2 = 3 2 − 5 2 + 6 2 = 4 2

3

Multiplicación y división de raíces de igual índice
En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.
Ejemplo:

8 ⋅ 20 =
Descomponiendo las cantidades subradicales:

8 ⋅ 20 =

4 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 2 5 = 4 10

Multiplicación y división de raíces de distintoíndice
En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar
índices.
Ejemplo:

2
3

2

=

El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices
a seis:

2
3

2

=

6
6

23
22

=

6

23
= 62
22

1.3. RACIONALIZACIÓN
La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el
denominador de una...