Algebra

Elementos de Álgebra

Prof. Albéniz A. Meléndez Q.

CAPÍTULO I ELEMENTOS DE ÁLGEBRA

Dedicaremos este primer capítulo al repaso de algunos conceptos elementales que, aunque ya han sido vistos por el estudiante en los cursos previos de bachillerato, es necesario recordar y aclarar para facilitar su comprensión y aplicación en el planteamiento y solución de los ejercicios y problemas típicosde las matemáticas universitarias. I.1.- LOS NÚMEROS ”Dios creó los Números Naturales, el resto es obra del hombre” Leopoldo Kronecker (1.823 – 1.891)

Desde su origen, una forma de relacionarse el hombre con el medio ambiente debe haber sido mediante la cuantificación, es decir, de alguna manera comenzó a contar cuántos individuos pertenecían a su clan o grupo de convivencia, cuántos animalesdebía cazar para alimentarse él y su grupo, y así, cuántos de las pocas cosas que iba conociendo o descubriendo.

Indudablemente,

al

comienzo

todo

eran

unidades

enteras

e

independientes, por ejemplo: una fruta, otra fruta, otra fruta o un animal, otro animal, otro y otro, etc. Al no tener conocimientos matemáticos solo podría identificar la existencia de los elementos perotenía un control numérico y de alguna manera ideó algún sistema rudimentario que le permitió crear un esquema de cuantificación. La frase de Kronecker, matemático alemán, atribuye a Dios la creación de los números naturales, para contar a los elementos no divididos o unidades enteras de cada una las cosas, entes o fenómenos que a diario aparecían ante el hombre; el resto es obra del hombre; esdecir, el hombre creó sistemas de numeración y operaciones matemáticas que han

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contribuido, a través de miles de años de historia, a alcanzar los avances tecnológicos que conocemos hoy día. A través de los tiempos, el hombre ha venido observando y analizando los fenómenos que a diario ocurren, así ha podido interpretar y diferenciar eldía de la noche, el invierno del verano, descubrió el fuego e inventó la rueda y, poco a poco, a través de los años, ha logrado todos los avances tecnológicos que hoy conocemos: Internet, computación, viajes espaciales, sistemas de ordeño mecanizados, plantas procesadoras para producción, conservación y aprovechamiento a gran escala de pulpa de tomate. ¡Qué asombroso!, pero cabe preguntar:¿Podríamos haber alcanzado tales avances sin el conocimiento y buen uso de los números? Los diversos problemas y la necesidad de resolverlos han conducido al hombre a crear operaciones numéricas que, a su vez, necesitan de tipos de números adecuados para poder dar solución a tales operaciones. Observemos, sin seguir un orden cronológico en cuanto a su aparición o creación, cómo se han clasificado losnúmeros de acuerdo a sus características y en qué consiste el conjunto de los números reales. I.1.1.- Conjunto de los Números Naturales: El conjunto N de los números naturales es una sucesión de números que se representan de la manera siguiente: N = 0, 1, 2, 3, 4, 5........ Con ellos se pueden resolver operaciones aritméticas, en las condiciones siguientes: Sean a, b, c y n  N     Suma: a + b =c Resta: a  b = c siempre es posible. es posible si a es mayor o igual que b. siempre es posible.

Multiplicación: a x b = c División: a  b = c

es posible si a es múltiplo de b, b  o.

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Potenciación: a n = c siempre es posible. Radicación:
n

a  b es posible si a = b x b... x b, n veces.

La representación de losnúmeros naturales la hacemos sobre una línea recta, como se muestra en la Fig. I.1: 0 1 2 3
Fig. I.1

4

5

n

I.1.2.- Conjunto de los Números Enteros: La necesidad de poder restar números naturales sin restricciones, conduce a la introducción de una nueva clase de números, los negativos: -1, -2, -3 . . . . . ., los cuales conjuntamente con los números naturales conforman el conjunto Z,...