algebra

Valores y Vectores Propios
En todo lo que sigue A es una matriz cuadrada.
1. Propiedades b´sicas.
a
´
Definicion:
• El escalar λ es valor propio de A si existe v = 0 tal que Av = λv .
• Elvector v es vector propio de A asociado a λ si Av = λv .
Teorema: (m´todo para calcular valores y vectores propios para matrices concretas)
e
• El escalar λ es valor propio de A si y s´lo si det(A −λI) = 0 .
o
• El vector v es vector propio de A asociado a λ si (A − λI)v = 0 .
Demostraci´n (s´lo la parte 2):
o
o
Av = λv ⇐⇒ Av − λv = 0 ⇐⇒ (A − λI)v = 0.
Obs´rvese que Av = λv ⇐⇒ Av − λv =0 ⇐⇒ (A − λ)v = 0 es incorrecto. ¿Por qu´?
e
e
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz
A=

4 −5
2 −3

.

´
Solucion: Primero se calculan los valores propios:det(A − λI) =

4−λ
−5
2
−3 − λ

= (4 − λ)(−3 − λ) + 10 = λ2 − λ − 2 ⇒

λ = −1,
λ = 2.

Con lo cual obtenemos dos valores propios: λ1 = −1, λ2 = 2.
Buscamos ahora los correspondientesvectores propios:
• Para λ = −1:

[A − (−1)I)]v = 0 →

5 −5
2 −2

x
y

=

0
0

→ x = y → m´ltiplos de
u

1
1

.

El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones.
• Para λ = 2(Ejercicio). Debe salir m´ltiplos de [5, 2]t . Nuevamente el sistema obtenido
u
tiene una infinidad de soluciones.
Observaciones:
• Se puede demostrar que det(A − λI) es un polinomio cuyo gradocoincide con el tama˜o
n
ıces
de la matriz A; sea n. Se llama polinomio caracter´
ıstico. Como mucho tiene n ra´
distintas.
1

• Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio lecorresponden una infinidad
de vectores propios. En otras palabras: si λ es valor propio, el sistema (A − λI)v = 0
tiene siempre infinitas soluciones.

En Matlab:
A=[4 -5;2 -3];
eig(A)
[V,D]=eig(A);
1
−1

1
Ejercicio: Puede haber menos valores propios “de lo normal”:  1
0
Ejercicio: Puede haber valores y vectores propios complejos:

1
.
1

1 0
1 0 .
0 0

Ejercicio: ¿C´mo...