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ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadasparciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
1)
Es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir,, es la derivada de con respecto a

2)

Es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problemamatemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).




Ecuación diferencial exacta
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer ordenque presenta la forma:


en donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales.
Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y) tal que


Donde y .

Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser
iguales y esta es lacondición .

Método de resolución:
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de laecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.
Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
Finalmente se reemplaza el gencontrado en la solución general
Factor integrante.
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:
sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
Factor integrantesolo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe decir que para que exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que y equivalen a las parciales de estas; y respectivamente).

Factor integrante solo en funciónde y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:



Factor integrante solo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Factor integrante solo en función de x·y....