Algebra

Negación lógica

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Negación lógica
En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdadque cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.

Definición
La negación clásica es una operaciónsobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso. La tabla de verdad de ¬p es la siguiente:Tabla de verdad de ¬p
p ¬p

Verdadero Falso Falso Verdadero

La genación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquiercontradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la [lógica paraconsistente]], donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q". Algebraicamente, la negación clásica corresponde con elcomplemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásica e intuicionista respectivamente.

Notación
La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes:

Negación lógica

2Notación

Vocalización no p no p no p ene p p prima , complemento de p p barra, barra p exclamación p

Independientemente de la notación o símbolo utilizados, la negación ¬p / ~p se puede leer como "no es el caso que p", "no es cierto que p", o por lo común, simplemente (aunque no gramaticalmente) como "no p".

Propiedades
Doble negación
Dentro de un sistema de lógica clásica, la doblenegación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencias entre las genaciones clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos. Sim embargo, enlógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko.

Distributiva
~ ~

Linealidad
En el álgebra de Boole, una función lineal es una función tal que: Si existe a0, a1, ..., an {0,1} talque f(b1, ..., bn) = a0 ⊕ (a1 b1) ⊕ ... ⊕ (an bn), para todo b1, ..., bn {0,1}.

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre cambia su valor de verdad de la operación o nunca cambia. La negación es un operador lógico lineal.

Negación lógica

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Autodualidad
En el álgebra de Boole, una función autodual es una función tal que: Si f(a1, ..., an) = ~f(~a1, ..., ~an) para todo...