algebra

Ilustración de una demostración del Teorema Fundamental del Algebra
El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decirexiste un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo,si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno deestos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raízde P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.
Sea Cr al conjunto de números complejosde módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:

Seaademás P(Cr) la imágen a través de P de Cr, i.e., P(Cr)={ P(z) : |z|=r }. Observar que P(Cr) es una curva cerrada. ¿Porqué? Observar también que si r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá delos valores de los coeficientes del polinomioP), entonces todo elemento de P(Cr) estará muy cerca de P0 en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el"exterior" de lacurva P(Cr). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y r=0.75, entonces P(Cr) es:

Por el contrario, si R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de loscoeficientes del polinomio P), entonces P(CR) se parecerá a n círculos del plano complejo centrados en P0 y el origen del plano complejo estará en el "interior" de P(CR). ¿Porqué? Por ejemplo,...